Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Конические сечения

Секущая плоскость, не проходящая через вершину конуса вращения, оставляет на нем след в виде кривых 2-ого порядка (Рис.40). Если плоскость пересекает все образующие конуса, то получается замкнутая кривая: окружность или эллипс. Если же секущая плоскость параллельна к одной или к двум образующим, то результат пересечения – кривая, имеющая одну или две несобственные точки. Это – парабола или гипербола. Все зависит от степени наклона секущей плоскости относительно оси вращения в сравнении с половинным углом при вершине конуса:

Если , то – окружность,

Если , то – эллипс,

Если , то – парабола,

Если , то – гипербола.


Параллельность плоскостей Если две плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости

Пересечение геометрических фигур с привлечением посредников

Сложнее решаются задачи на пересечение геометрических фигур, если ни одна из них не является проецирующей. В таких случаях трудно обойтись без привлечения третьих участников пересечения – так называемых посредников. В виде проецирующих секущих плоскостей или секущих сфер, соосных с заданными поверхностями вращения. При этом, все разнообразие подобных задач решается на основе единого алгоритма, необходимый объем которого может быть максимально полным или практически доведенным до нуля.

Рассмотрим наиболее общий случай: пересечение криволинейных поверхностей, например,  и . ( Рис.41):

1). Пусть поверхности  и  пересекаются по некоторой линии: .

2). Всякая линия задается точками. Зададим линию ℓ в виде объединения n-ого количества текущих точек .

3). Любая точка на чертеже должна быть задана двумя пересекающимися линиями. Пусть для текущей точки  это будут две линии: одна на поверхности Δ, другая – на поверхности

4). Посредник пересекает заданные поверхности по двум линиям, а линии пересекаются в точке, принадлежащей искомой линии пересечения поверхностей. То есть:   и , , .

Последняя череда рассуждений и отражает содержание алгоритма решения задач на пересечение геометрических фигур с привлечением посредников в полном объеме. От чего зависит объем алгоритма, показано на Рис.42.

Для плоскостей необходимо меньшее число посредников, чем для пересечения криволинейных поверхностей.

Если одна из фигур задается каркасом, то посредники следует проводить через его элементы. В этом случае алгоритм решения сокращается на одну позицию. Поскольку каждый элемент каркаса используется в качестве одной из двух вспомогательных линий.

При вырождении одной из поверхностей в линию алгоритм сокращается еще на одну строчку. Единственный посредник проводится через эту линию, которая играет теперь роль одной из двух вспомогательных линий. И еще. Поскольку результат пересечения – точка, то отпадает позиция объединения точек. 

Метод проецирующих секущих плоскостей

При произвольном задании проецирующих посредников, как это было сделано в данной задаче, для построения линии пересечения плоскостей приходиться проводить 4 вспомогательные линии по 8-ми точкам. Для сокращения трудоемкости графических построений следует по возможность задавать посредники параллельными между собой и проводить их через прямые, принадлежащие заданным плоскостям по условию задачи:

Метод концентрических сфер применяется для пересечения поверхностей вращения, у которых общая плоскость симметрии параллельна плоскости проекций. В этом случае сфера с центром в точке пересечения осей вращения соосна с поверхностями и пересекает их по окружностям. Которые, в свою очередь, пересекаются в двух точках, принадлежащих искомой линии пересечения. На чертеже – это совпадающие между собой проекции двух конкурирующих точек в месте пересечения вырожденных проекций вспомогательных окружностей.


Полупроводники