Общие свойства гармонических колебаний. Задачи для самостоятельного решения

Физика колебаний Электромагнитные волны

Студенты учатся приводить примеры использования в технике волновых оптических явлений, объяснить принцип работы световодов, интерференционной оптики, дифракционных решеток, поляризационных фильтров, применить знания к объяснению особенностей распространения света в разных средах, изложить физические основы голографии.

Задача

Доказать, что амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника волн r (см. соотношение (7.3)).

Решение.

Чем дальше от источника уходит сферическая волна, тем на большую площадь распределяется испускаемая источником энергия (S = 4pr2). Соответственно, тем меньшая энергия (~ 1/r2) приходится на каждую колеблющуюся частицу. Из формул (7.4) и (7.8) следует, что плотность энергии волны W0(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний (А2 для упругой, Е2 или В2 для электромагнитной волн). Следовательно, амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорциональна расстоянию от источника до данной точки А ~  ~ 1/r (см. ф-лу (7.3)).


Задача

Доказать, что уравнение x(x,t) = A×cos(аt – bx) описывает гармоническую волну, распространяющуюся по оси Х. Найти фазовую скорость этой волны и направление ее распространения.

Решение.

Постоянному значению фазы волны соответствует условие at – bx = const. Продифференцируем это соотношение: adt – bdx = 0. Отсюда следует, что координата точки с постоянной фазой перемещается со скоростью V = dx/dt = a/b. Это и есть по определению фазовая скорость волны. Если отношение a/b > 0, волна распространяется по оси Х, если a/b < 0 – в противоположном направлении.

Задача

Один конец горизонтального шнура длиной L = 6 м закреплен, другой перемещают по вертикали по закону: y(t) = A×sin4pt. На шнуре при этом наблюдаются три точки, в которых шнур остается все время неподвижным. Изобразить вид колеблющегося шнура и указать места, в которых максимальны потенциальная и кинетическая энергии волны. Найти скорость распространения «бегущей» упругой волны по этому шнуру. Сопоставить распределения кинетической и потенциальной энергии по длине шнура для «бегущей» и «стоячей» волн. Электроемкость уединенного проводящего шара. Потенциал уединенного проводящего шара радиусом R, несущего заряд q и находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью e, был рассчитан в соответствующем приложении теоремы Остроградского – Гаусса и равен:

Решение.

В указанных условиях на шнуре формируется т.н. «стоячая» волна, возникающая из-за наложения «исходной» и отраженной от закрепленного конца шнура волн. В результате на шнуре возникают т.н. «узлы» (неподвижные точки) и «пучности» (области с максимальной амплитудой колебаний) – см. рис.7.1. Расстояние между двумя соседними узлами или пучностями равно половине длины волны (l/2). Таким образом, в данной задаче на длине шнура укладывается 3l/2 и, следовательно, l = 4 м.

 В узлах шнур не движется, но зато испытывает максимальные упругие напряжения (точки слева и справа от пучности всегда движутся в разные стороны); в пучностях, наоборот, максимальна скорость шнура, но соседние точки движутся практически одинаково. Поэтому в узлах максимальна потенциальная энергия стоячей волны, в пучностях – кинетическая. Следовательно, максимумы потенциальной и кинетической энергий в стоячей упругой волне пространственно разнесены на l/4.

Для бегущей по шнуру упругой волны максимумы потенциальной и кинетической энергии находятся в одних и тех же местах – там, где x(t) = 0 (см. соотношение (7.4)). Конечно, они перемещаются вместе с волной с фазовой скоростью V.

Скорость распространения бегущей по шнуру волны V = l/T = lw/2p. Из условия задачи следует, что w = 4p (с-1).

Ответ: V = 8 м/с.

59. Вычислить плотность потока энергии на расстоянии 3 м от СВЧ-печи мощностью 1 кВт, если на внешнее излучение уходит 10% мощности. Принять СВЧ-печь за точечный источник мощностью 1 кВт.

60. Вычислить плотность потока энергии на расстоянии 2 м от СВЧ-печи мощностью 1 кВт, если на внешнее излучение уходит 10 % мощности. Принять СВЧ-печь за точечный источник мощностью 1 кВт.

61. Какова минимальная толщина покрытия на изделиях чешской бижутерии, если при нормальном падении условие максимума при отражении должно выполняться для зеленого цвета (λ = 0,53 мкм).показатель преломления покрытия n =1.4

62. Какова минимальная толщина покрытия на объективе фотоаппарата (голубая оптика), если при нормальном падении условие минимума при отражении должно выполняться для красного цвета (λ = 0,7 мкм).показатель преломления покрытия n =1.4

63 – 65. При выбраковке ткани используется дифракция на регулярной структуре нитей. При нарушении структуры меняется дифракционная картина. Рассчитать углы порядков дифракции, если расстояние между нитями по горизонтали а, расстояние по вертикали b, освещение ведется светом с длиной волны λ . Данные для задач в таблице.

m

λ (мкм )

а(мм )

b(мм )

63

1-3

0,53

0,1

0,05

64

1-3

0,63

0.05

0.1

65

1-3

0,694

0,05

0,025

66. На грань кристалла каменной соли падает пучок параллельных рентгеновских лучей с длиной волны 0.15 нм. Под каким углом к атомной плоскости наблюдается дифракционный максимум третьего порядка, если расстояние между атомными плоскостями кристалла 0.285 нм?

67. На кристалл кальцита, расстояние между атомными плоскостями которого 0.3 нм, падает пучок параллельных рентгеновских лучей, длина волны которых 0.147 нм. Определить, под каким углом к поверхности кристалла / угол скольжения / должны падать рентгеновские лучи, чтобы наблюдался дифракционный максимум первого порядка.

68. При анализе содержания сахара используется явление вращения плоскости поляризации света. Определить процентное содержание сахара в кювете длиной 1дм., если плоскость поляризации света повернулась после прохождения раствора на угол φ = 3020' . Постоянная вращения сахара α =660 град\м

69. При анализе содержания сахара используется явление вращения плоскости поляризации света. Определить процентное содержание сахара в кювете длиной 1дм., если плоскость поляризации света повернулась после прохождения раствора на угол φ = 6020' . Постоянная вращения сахара α =660 град\м

70. При анализе содержания сахара используется явление вращения плоскости поляризации света. Определить процентное содержание сахара в кювете длиной 1дм., если плоскость поляризации света повернулась после прохождения раствора на угол φ = 90 . Постоянная вращения сахара α =660 град\м.

71. Период полураспада изотопа 74As33 равен 17.5 дня. Определить за какое время распадется 80% атомов изотопа.

72. Период полураспада радиоактивного аргона 41Ar18 равен 110 минутам. Определить время, за которое распадется 25% первоначальной массы атомов.

73. Стабильный изотоп натрия 23Na11 облучается нейтронами и превращается в радиоактивный изотоп 24Na11 с периодом полураспада 11.5 ч. Какая доля радиоактивного натрия останется через сутки после облучения.

74. Постоянная распада для 228Rа88 равна 3.28×10-2 с-1. Определить какая часть ядер этого элемента останется через пять лет.

Лабораторные занятия по дисциплине "Физика" проводятся в специально оборудованных лабораториях с применением необходимых средств обучения: лабораторного оборудования, образцов для исследований, методических пособий, компьютерных средств обработки результатов измерений. При выполнении лабораторных работ проводятся: подготовка оборудования и приборов к работе, изучение методики работы, воспроизведение изучаемого явления, измерение величин, определение соответствующих характеристик и показателей, обработка данных и их анализ, обобщение результатов.
Переменный ток