Общие свойства гармонических колебаний. Задачи для самостоятельного решения

Физика колебаний Электромагнитные волны

Дисциплина "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" является заключительной частью математических дисциплин для студентов физических факультетов. Круг вопросов данного курса связан с изучением различных физических процессов. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

В качестве примера на рис.10.5 представлена дифракционная картина от решетки, состоящей из N = 5 щелей, период решетки d = 3b. Задача 1. В сосуде объемом V1 = 3 л находится газ под давлением 0,2 МПа, в другом сосуде объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением 0,1 МПа.

Видно, что те главные дифракционные максимумы, положение которых совпадает с главными минимумами, пропадают. Количество побочных максимумов в данном случае равно N-2 = 3, количество побочных минимумов равно N-1 = 4.


Рис.10.5. Сравнение дифракционных картин от решетки (N = 5, d = 3b) и щели. В случае дифракции на щели интенсивность увеличена в N2 = 25 раз.

Характеристики дифракционной решетки

как спектрального аппарата.

Угловая дисперсия.

Угловая дисперсия является размерной величиной и определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися на единичный интервал длин волн (1 м в системе  СИ). По определению она равна: . Дифференцируя условие главных максимумов, получим: d×cosj×dj = m×dl. Отсюда следует, что угловая дисперсия в спектре m – порядка: . При малых углах дифракции cosj » 1 и можно использовать упрощенное выражение:

Dj » m/d. Угловая дисперсия тем больше, чем выше порядок спектра и меньше период дифракционной решетки.

Линейная дисперсия характеризует величину линейного расстояния (на экране или фотопленке) между двумя спектральными линиями, отличающимися на единичный интервал длин волн. При малых углах дифракции расстояние между максимумами двух спектральных линий dx связано с угловым расстоянием между ними простым соотношением: dx » F × dj , где F – фокусное расстояние линзы. Тогда величина линейной дисперсии Dx = dx/dl » F× Dj.

Разрешающая способность.

Разрешающей способностью спектрального аппарата называется отношение длины волны l, на которой проводится измерение, к минимальной разрешаемой данным аппаратом разнице в длинах волн R = l/dlmin . Согласно критерию Рэлея, две спектральные линии l и l + dlmin будут разрешены, если максимум одной совпадает с минимумом другой. Тогда условие совпадения максимума l + dl и первого побочного минимума l в спектре  m – порядка запишется так:

d sinj = m(l + dl) = (m +1/N)l . Отсюда получаем: dlmin = l/mN , и, соответственно, разрешающая способность дифракционной решетки оказывается пропорциональной числу щелей N и порядку интерференции (порядковому номеру главного максимума): R = mN.

Метод исследования, характерный для данной дисциплины, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики тесно связана с изучением физических процессов. Рассматриваются задачи как классической физики (колебания струны, распространение волн в жидкостях и газах, процессы переноса и диффузии), так и задачи квантовой физики (гармонический осциллятор, водородоподобные атомы), приводящие к уравнениям с частными производными, или, после разделения переменных, к уравнениям специальных функций.
Переменный ток