Общие свойства гармонических колебаний. Задачи для самостоятельного решения

Физика колебаний Электромагнитные волны

Дисциплина "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" является заключительной частью математических дисциплин для студентов физических факультетов. Круг вопросов данного курса связан с изучением различных физических процессов. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Линейная дисперсия.

Линейная дисперсия характеризует величину линейного расстояния (на экране или фотопленке) между двумя спектральными линиями, отличающимися на единичный интервал длин волн. При малых углах дифракции расстояние между максимумами двух спектральных линий dx связано с угловым расстоянием между ними простым соотношением: dx » F × dj , где F – фокусное расстояние линзы. Тогда величина линейной дисперсии Dx = dx/dl » F× Dj.

Разрешающая способность. Квантовая физика При изучении темы "Квантовая физика" надо иметь в виду следующее. Начало развития квантовой физики связано с решением немецким ученым Максом Планком проблемы излучения абсолютно черного тела.

Разрешающей способностью спектрального аппарата называется отношение длины волны l, на которой проводится измерение, к минимальной разрешаемой данным аппаратом разнице в длинах волн R = l/dlmin . Согласно критерию Рэлея, две спектральные линии l и l + dlmin будут разрешены, если максимум одной совпадает с минимумом другой. Тогда условие совпадения максимума l + dl и первого побочного минимума l в спектре  m – порядка запишется так:

d sinj = m(l + dl) = (m +1/N)l . Отсюда получаем: dlmin = l/mN , и, соответственно, разрешающая способность дифракционной решетки оказывается пропорциональной числу щелей N и порядку интерференции (порядковому номеру главного максимума): R = mN.

Задачи для самостоятельного решения.

Чему равна постоянная дифракционной решетки, если для того, чтобы увидеть красную линию (l = 7×10-7 м) в спектре второго порядка, зрительную трубу необходимо установить под углом 30° к оси коллиматора? Какое число штрихов нанесено на 1 см длины этой решетки? Свет падает на решетку нормально.

Определить длину волны света l, если для решетки с периодом d = 1,55×10-3 мм угол Dj между максимумами 1 и 2 порядка равен 30°.

Свет с длиной волны l = 0,6 мкм падает нормально на дифракционную решетку, которая нанесена на плоскую поверхность плосковыпуклой цилиндрической стеклянной линзы (n = 1,5) с радиусом кривизны R = 20 см. Период решетки d = 6 мкм. Найти расстояние Dx между симметрично расположенными главными максимумами первого порядка в фокальной плоскости этой линзы.

Свет с длиной волны l падает нормально на решетку шириной l. Найти ее угловую дисперсию в зависимости от угла дифракции j.

Свет с l = 589 нм падает нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,5 мкм, содержащую N = 104 штрихов. Найти угловую ширину дифракционного максимума второго порядка.

Свет падает нормально на дифракционную решетку шириной l = 6,5 см, имеющую n = 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый спектр содержит две спектральные линии с l1 = 670,800 нм и l2 = 670,815 нм. Определить, в каком порядке спектра эти линии могут быть разрешены.

Что произойдет с дифракционной картиной, если щели дифракционной решетки перекрыть через одну?

Показать, что при нормальном падении света на дифракционную решетку максимальная величина ее разрешающей способности не может превышать значения l /l, где l – ширина решетки, l - длина волны света.

В дифракционной картине от решетки с периодом d = 2,4 мкм, видны при l = 0,5 мкм только два максимума (кроме центрального). Какова ширина щелей b в этой решетке?

При нормальном падении света на дифракционную решетку угол отклонения для волны l1 = 0,7 мкм в первом порядке равен j1 = 30°. Определить длину волны света l2, для которой угол отклонения во втором порядке равен 45°.

Метод исследования, характерный для данной дисциплины, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики тесно связана с изучением физических процессов. Рассматриваются задачи как классической физики (колебания струны, распространение волн в жидкостях и газах, процессы переноса и диффузии), так и задачи квантовой физики (гармонический осциллятор, водородоподобные атомы), приводящие к уравнениям с частными производными, или, после разделения переменных, к уравнениям специальных функций.
Переменный ток