Общие свойства гармонических колебаний. Задачи для самостоятельного решения

Физика колебаний Электромагнитные волны

Дисциплина "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" является заключительной частью математических дисциплин для студентов физических факультетов. Круг вопросов данного курса связан с изучением различных физических процессов. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Двойное лучепреломление.

Оптическая анизотропия кристаллов приводит к тому, что скорость распространения света, и, следовательно, показатель преломления, зависят от ориентации плоскости поляризации света, проходящего через кристалл. В результате этого электромагнитная волна при прохождении анизотропного одноосного кристалла разделяется на два луча ( наблюдается «двойное лучепреломление»). Один луч, плоскость колебаний вектора электрической напряженности E которого перпендикулярна главной оптической плоскости кристалла, называется обыкновенным. Скорость его не зависит от направления распространения в кристалле. Соответственно, показатель преломления для этого луча постоянен (n0). Другой луч, в котором плоскость колебаний вектора E параллельна главной оптической плоскости, называется необыкновенным. Его скорость и показатель преломления зависят от направления распространения в кристалле. Если этот луч распространяется вдоль оптической оси кристалла, он становится обыкновенным и его показатель преломления равен n0; если перпендикулярно оптической оси, то его показатель преломления nе наиболее сильно отличается от n0. Кристалл называется положительным, если nе > n0 и отрицательным, если nе < n0. Задача 2. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных гармонических колебаний, данных уравнениями: x1 = 0,02cos (5πt + π/2) м и x2 = 0,03cos (5πt + π/4) м.

На рис.11.1 показана ориентация векторов Е в обыкновенном (Ео) и необыкновенном (Ее) лучах при нормальном падении плоскополяризованного света на двоякопреломляющий кристалл, оптическая ось которого ОО¢ параллельна его поверхности.

Рис.11.1. OO¢ – направление оптической оси кристалла; Eо и Eе – амплитуды колебаний вектора напряженности электрического поля для обыкновенного и необыкновенного лучей. Падающий луч с амплитудой напряженности электрического поля E1, перпендикулярен поверхности кристалла (и плоскости рисунка).

Для компонент Eо и Eе можно написать: Eо = E1×соsa и Eе = E1×sina. Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля, то падающего света Io ~ Eo2; Ie ~ Eе2, где Io и Iе интенсивность обыкновенного и необыкновенного лучей. Отсюда следует: Iе/Io = tg2a .

Различие показателей преломления no и nе для обыкновенного и необыкновенного лучей приводит к появлению между ними оптической разности хода D = (no – nе)×d, где d – толщина кристаллической пластинки.

Подчеркнем, что в рассмотренном на рис.11.1 случае не происходит пространственного разделения лучей. Разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами d = 2pD/l, определяет тип поляризации луча, прошедшего через кристаллическую пластинку. В общем случае это будет эллиптическая поляризация, возникающая как результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний Eо×coswt и Eе×cos(wt + d). При d = kp вышедший луч будет линейно поляризован, при d = p/2 + mp и a = 45о вышедший луч будет поляризован по кругу (циркулярно). В зависимости от направления вращения вектора Е поляризованный эллиптически или циркулярно свет может быть право- и лево- поляризованным. Согласно сложившейся классификации, если направление вращения вектора Е и направление распространения луча связаны правилом правого буравчика, свет считается лево-поляризованным и наоборот.

Метод исследования, характерный для данной дисциплины, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики тесно связана с изучением физических процессов. Рассматриваются задачи как классической физики (колебания струны, распространение волн в жидкостях и газах, процессы переноса и диффузии), так и задачи квантовой физики (гармонический осциллятор, водородоподобные атомы), приводящие к уравнениям с частными производными, или, после разделения переменных, к уравнениям специальных функций.
Переменный ток