Общие свойства гармонических колебаний. Задачи для самостоятельного решения

Физика колебаний Электромагнитные волны

Дисциплина "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" является заключительной частью математических дисциплин для студентов физических факультетов. Круг вопросов данного курса связан с изучением различных физических процессов. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

11.3. Монохроматический поляризованный по левому кругу свет с интенсивностью I0 падает нормально на положительную кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси. За пластинкой находится анализатор, направление пропускания которого составляет угол a с осью пластинки. Определить интенсивность света, прошедшего через эту систему.

Решение

Поляризованный по кругу свет создает одинаковые амплитуды обыкновенного луча Ео и необыкновенного Ее, причем для левой поляризации колебания обыкновенного луча отстают по фазе на p/2. Положительный кристалл создает для обыкновенного луча опережение по фазе d. Таким образом, результирующая разность фаз между составляющими обыкновенного и необыкновенного лучей dо = d - p/2. Окончательный результат получается из векторной диаграммы и теоремы косинусов. Задача 3. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания χ = 1,6; начальная фаза равна нулю.

E2 = E02 + 2E02 cosa×sina×cosdo.

Таким образом, имеем: I = I0(1 + sin2a×sind).

 


 

Интерференция поляризованных лучей.

 Для наблюдения интерференции поляризованных лучей обычно используется оптическая схема, изображенная на рисунке:

 


На этой схеме П – поляризатор, на который падает естественный свет с интенсивностью I*. После прохождения поляризатора получается плоскополяризованный свет с интенсивностью I1 и амплитудой Е1 (см.рис.11.3), который затем проходит через двоякопреломляющую пластинку О, оптическая ось которой ОО¢ параллельна поверхности пластинки. При прохождении через пластинку в результате двойного лучепреломления образуются два луча: обыкновенный с амплитудой Ео и необыкновенный с амплитудой Ее, которые распространяются по одному направлению, поляризованы во взаимноперпендикулярных плоскостях и имеют оптическую разность хода D = (nо – nе)×d.

  При D = kl, где k – целое число из пластинки выходит плоскополяризованный свет, причем положение плоскости поляризации не меняется.

  При D = (k + 1/2)l из пластинки также будет выходить плоскополяризованный свет (“пластинка в полволны”). В этом случае происходит поворот плоскости поляризации на 2a , где a - угол между плоскостью колебаний падающего луча и оптической осью пластинки. При D = (2k + 1)l/4 (“пластинка в четверть волны”) и равенстве амплитуд обыкновенного и необыкновенного лучей (Ео и Ее) получается циркулярно поляризованный свет, конец вектора Е которого описывает в пространстве спираль и вращается с частотой w. После прохождения анализатора А составляющие обыкновенного Ео1 и необыкновенного Ее1 лучей поляризованы в одной плоскости и могут интерферировать с разностью хода D = (no – nе )×d. Если в данной схеме направления пропускания поляризатора ПП¢ и анализатора АА¢ параллельны и используется белый свет, то при выполнении условия максимума интерференции для какой-либо длины волны l: D = ml - через анализатор будут проходить свет с этой длиной волны, т.е. пластинка будет окрашена в цвет, соответствующий этой длине волны. При повороте анализатора на угол p/2 для этой длины волны будет выполняться условие минимума интерференции (появляется дополнительная разность фаз p) и пластинка будет окрашена в дополнительный цвет.

Пространственная ориентация вектора Е по мере прохождения лучем элементов данной схемы при двух ориентациях анализатора представлена на следующей диаграмме:

Метод исследования, характерный для данной дисциплины, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики тесно связана с изучением физических процессов. Рассматриваются задачи как классической физики (колебания струны, распространение волн в жидкостях и газах, процессы переноса и диффузии), так и задачи квантовой физики (гармонический осциллятор, водородоподобные атомы), приводящие к уравнениям с частными производными, или, после разделения переменных, к уравнениям специальных функций.
Переменный ток