Примеры решения задач
Пример 1. Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с угловой скоростью w, изменяющейся по закону w = Аt10 , где А = 2 рад/с11. Найти закон движения j(t), угловое ускорение e (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала движения. Считать начальный угол j(t =0) = j0 = 0 .
Решение.
Перевод в СИ Мимо неподвижного электровоза, гудок которого дает сигнал частотой v0=300 Гц, проезжает поезд со скоростью и=40 м/с. Какова кажущаяся частота v тона для пассажира, когда поезд приближается к электровозу? когда удаляется от него?
m = 30 кг 30 кг
D = 60 см 0,6 м
w = Аt10 = 2× t10рад/с11 2× t10рад/с
t = 2 c 2 c
Определить: j(t), e (t), М(t), L(t).
Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая производная от j(t) по времени:
dj
w(t) = ¾¾ (1)
dt
Закон движения j(t) находится решением обратной задачи, т.е. интегрированием угловой скорости по времени:
t
j(t) = ò w(t) d t + j0
0
При w(t) = 2 ×t10 ,с учетом j0 = 0:
t 2×t11
j(t) = ò 2×t10 d t + j0 = ¾¾ (3)
0 11
2×211
В момент времени t = 2 с маховик повернулся на угол j(t =2 с) = ¾¾
11
= 372,3 » 372 рад.
Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени:
dw d
e = ¾¾ = ¾¾ ( 2 ×t10) = 10 × 2× t9 (4)
dt dt
В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:
e ( t = 2c) = 10 × 2 × 29 = 10240 » 1,02× 104 рад/с2
Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:
М = I × e (5)
где I - момент инерции тела.
В нашем случае момент инерции колеса равен:
I = mR2 = mD2/4 (6)
Подставляя выражения (4) и (6) в (5) получим:
mD2 20 t9
М = ¾¾ ×¾¾
4
При t = 2 c
30 × ( 0,6)2 20×29
M = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 27648 » 2,77 × 104 Н×м
4
Момент количества движения равен:
L = I w (7)
Подставляя выражения для w и (6) в (7) получим:
mD2 2 t10
L = ¾¾ ¾¾
4
При t = 2 c
30× (0,6)2 × 2× 210
L = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 5529,6 = 5,53× 103 кг м2/с
4
Проверим размерность полученных выражений.
рад с11
[j] = [А] [t11] = ¾¾¾¾ = рад;
с11
рад с9
[e] = [А] [t9] = ¾¾¾¾ = рад/с2
с11
mD2 × A t9 кг м2 с9 кг м м
[M] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = Н м
4 11 с11 с2
кг м2 c10
[L] = [ m D2 A t10 ] = ¾¾¾¾ = кг м2 с-1
c11
Ответ: j(t=2) =372рад, e(t=2с)= 1,02× 104 рад/с2, М(t) =2,77 × 104 Н м
L(t) = 5,53× 103 кг м2/с
Соковыжималка раскручивается до 7200 об\мин. Определить силу, действующую на кусочек яблока массой 5г, при диаметре камеры D =24 см. Вычислить линейную скорость кусочка яблока. Оценить мощность соковыжималки, если максимальные обороты достигаются за 8с.Барабан представляет собой полуцилиндр, масса дна и кольца примерно одинакова и равна 100 г. Яблочная масса при загрузке составляет 300 г.
Определить плотность смеси газов ( 60 % пропана - С3Н8,30% бутана - С4 Н10 и 10% метана - CH4) находящихся при температуре 27 0С и давлении 0.11МПа.
Глухая кирпичная стена имеет размеры: длина - 5 м,высота - 3.0 м, толщина - 50 см ( 2 кирпича). Рассчитать поток тепла, если внутренняя температура стены - +180С, а наружная - -200С. Определить количество тепла уходящее через стену за 1с и за 1час. Оценить мощность теплового источника, требуемого для компенсации потерь тепла. Теплопроводность кирпича 0.8 Вт/м×К
Сила тока в резисторе линейно возрастает за 4 секунды от 1 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 секунды.
Считая, что на внешнее излучение уходит 5% мощности СВЧ печи, определить безопасное расстояние, на котором можно находиться вблизи печи, если допустимая плотность потока энергии 103 мкВт\см2 при работе печи не более 20 мин. СВЧ - печь считать за точечный источник излучения мощностью 1 кВт
Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле каменной соли, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается при падении рентгеновских лучей с длиной волны 0,147 нм под углом 15012' к поверхности кристалла.
Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного стронция 90Sr38 распадается в течение одного года.
Вычислить дефект массы, энергию связи ядра 7Li3 и удельную энергию связи в этом ядре.
Волны в упругих средах, линейные, поверхностные и объемные волны, поперечные и продольные волны, фронт волны, плоские и сферические волны. Аналитическая запись бегущей волны. Волновое уравнение. Перенос энергии бегущей волной. Сложение колебаний и волн. Когерентные источники волн. Интерференция волн от точечных когерентных источников. Условия появления максимумов и минимумов. Сложение круговых и сферических волн. Построение фронта волны по принципу Гюйгенса, поведение фронта волны в неоднородной среде. Отражение и преломление волн.
Переменный ток