Пределы, Многочлен Тейлора

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример Пусть и рассматривается функция . Покажем, что

Пример Покажем, что предел последовательности равен 0.

Общее определение предела

Определение Пусть -- некоторая база и функция определена во всех точках некоторого окончания базы (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний ). Число называется пределом функции по базе (или при базе ) и обозначается

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене интегрирование подстановкой Примеры решения и оформления задач контрольной работы

• Пример
• Пример
• удаление autorun.inf

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела. Пакет для работы с графической информацией Corel DRAW Тригонометрическая подстановка Передача дискретных данных по линиям связи

Определение Функция называется бесконечно малой величиной при базе , если её предел при данной базе равен 0, то есть .

• Пример
• Пример
• Пример

Общие свойства пределов

• Замечание
• примеры
• примеры
• Упражнение
• Следствие Зарубежное искусство История современной архитектуры Запада писалась параллельно с её становлением. Лучшие зодчие столетия одновременно были теоретиками - исследователями и комментаторами процессов её развития. Очень часто именно благодаря полемическому и пропагандистскому дару их новаторские идеи, которые вначале не находили воплощения или реализовались в единичных постройках, всё же обретали признание и получали распространение.

Первый и второй замечательные пределы

 Определение   Первым замечательным пределом называется предел

 Определение   Вторым замечательным пределом называется предел

• Пример
• Теорема
• Упражнение

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

   Определение Пусть  -- внутренняя точка области определения функции , то есть функция определена при всех из некоторого интервала ( ), окружающего точку . Функция называется непрерывной в точке , если

• Определения
• Примеры

Сравнение бесконечно малых

• Пример
• Пример
• Примеры

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Формула Тейлора для экспоненты такова:

Получаем формулу Тейлора для синуса:

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Примеры

        Пример   Рассмотрим функцию . Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке . Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,

и положим в нём :

Теперь умножим левую и правую части этой формулы на :

Заметим, что бесконечно малое при выражение имеет тот же или больший порядок малости, как , и поэтому может рассматриваться как остаточный член в формуле Тейлора для , а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример   Найдём предел

Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:

где через обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и . Разложение для знаменателя имеет вид:

где остаточные члены и тоже имеют тот же порядок малости, что и , при . Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен

Итак,