Пределы, Многочлен Тейлора



Интегралы \| Дифференциальные уравнения Вибратор для бетона Sirte RGW Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет элитные офисные кресла от производителя мягкой офисной мебели. Интегралы при вычислении \| Windows Тренинг: деловой этикет в одежде и внешности Информатика \| Математика \| Функции дешево водосчётчики, затвор чугунный Пределы \| Производная \| Графики дешево паркетная доска, паркет москва . тут теневые навесы, чугунные ограждения \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции фейерверк санкт петербург, самый лучший фейерверк!, доска половая в Кировской области, www.zapokerom.ru - наборы для покера

	Знакомство с Windows XP Работа с помощью проводника Windows Печать из Windows Использование справочной системы Работа с программами в составе Windows ХР Работа с изображениями Работа в сети Интернет Работа с аудио и видео Вспомогательные программы Игры, поставляемые в составе Windows Дополнительные возможности Windows Особенности работы с блокнотными компьютерами Восстановление системы и защита важных файлов Прочие полезные возможности Windows Установка и настройка системы Настройка системы
	Высшая математика Лекции, конспекты, примеры решения задач Математический анализ
	Иследование функции
	Вычисление предела
	Вычисление производных
	Построение графиков
	Векторная алгебра
	Системы линейных уравнений
	Решения матриц
	Интегралы
	Дифференциальные уравнения
	Illustrator
	PageMaker
	PageMill
	Photoshop
	PostScript
	Premiere
	Type Manager (ATM)
	Type Library
	Общие вопросы
	Типовой расчет по Кузнезову
	Применение интегралов при вычислении площадей, обьемов
	Вычисление интегралов

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример Пусть и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$ . Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$
Пример Покажем, что предел последовательности $y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.
Общее определение предела

Определение Пусть $\mathcal{B}$ -- некоторая база и функция определена во всех точках некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $E\sbs E_0$ ). Число называется пределом функции по базе $\mathcal{B}$ (или при базе $\mathcal{B}$ ) и обозначается $\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$

Пример
Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Пример
Пример
удаление autorun.inf
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.
Определение Функция ${\alpha}(x)$ называется бесконечно малой величиной при базе $\mathcal{B}$ , если её предел при данной базе равен 0, то есть ${\alpha}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ .

Пример
Пример
Пример
Общие свойства пределов

Замечание
примеры
примеры
Упражнение
Следствие
Первый и второй замечательные пределы

Определение Первым замечательным пределом называется предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$
Определение Вторым замечательным пределом называется предел $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Пример
Теорема
Упражнение
Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример
Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Определение Пусть -- внутренняя точка области определения функции , то есть функция определена при всех из некоторого интервала $(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( ${\delta}>0$ ), окружающего точку . Функция называется непрерывной в точке , если

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

Определения
Примеры
Сравнение бесконечно малых

Пример
Пример
Примеры
Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пример
Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора
Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Формула Тейлора для экспоненты такова: $\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$
Получаем формулу Тейлора для синуса: $\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Упражнение
Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
Примеры

        Пример Рассмотрим функцию $f(x)=xe^{x^2}$ . Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке . Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,

$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$
и положим в нём :

$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2).$
Теперь умножим левую и правую части этой формулы на :

$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!} +xR_n(x^2).$
Заметим, что бесконечно малое при $x\to0$ выражение $\tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$ , и поэтому может рассматриваться как остаточный член $R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для , а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.
Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.
        Пример Найдём предел

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$
Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:

$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)= \frac{x^2}{2}+r_3(x),$
где через обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и . Разложение для знаменателя имеет вид:

$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))- (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$
где остаточные члены и тоже имеют тот же порядок малости, что и , при $x\to0$ . Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен

$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$
Итак,

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}= \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)} {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$

$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}} {-(\frac{1}{... ...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}= \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$

/TD>