|
|
Асимптоты графика функции
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно
приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала
координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида
асимптот: вертикальные и наклонные. Возрастание
и убывание функции Напомним, что функция 
называется возрастающей на интервале  ,
если для любых двух точек 
из неравенства 
следует, что  ;
убывающей на интервале ,
если из неравенства
следует, что  ;
невозрастающей на интервале ,
если из неравенства
следует, что  ,
и неубывающей на интервале ,
если из неравенства
следует, что  .
Мастер Жан Гужон
Жизненный путь Жана Гужона - одного из самых талантливых мастеров французского
Ренессанса - до сих пор окутан тайной. Достоверно не известно, где и когда он
родился, какое образование получил. Вероятно, он бывал в Италии, занимался там
раскопками, изучал древние памятники. Гужон — прежде всего скульптор, но с не
меньшим успехом он участвовал в возведении архитектурных сооружений и часто рекомендовался
заказчикам как зодчий. Производная
функции в точке Примеры решения и оформления задач контрольной работы Примеры
Экстремум функции
и необходимое условие экстремума ОпределениеПусть функция
определена в некоторой окрестности  ,
 ,
некоторой точки 
своей области определения. Точка
называется точкой локального максимума, если в некоторой
такой окрестности 
выполняется неравенство 
( ),
и точкой локального минимума, если 
.
Примеры Достаточные условия локального экстремума
Примеры Выпуклость функции Общая схема исследования функции и построения
её графика Примеры Пакет для работы с графической информацией
Corel DRAW Тригонометрическая
подстановка Передача дискретных
данных по линиям связи Примеры исследования функций и построения
графиков Пример
Исследуем функцию 
и построим её график. Пример Исследуем
функцию 
и построим её график. Пример Исследуем
функцию 
и построим её график. Упражнения и задачи
Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные
асимптоты графиков функций:  ;
Упражнение Найдите стационарные
точки функции 
Приближённое
нахождение корней уравнений
Кривизна плоской кривой
Кривизна графика функции
Определение Пусть кривая
задана как график функции 
и  --
некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция
дифференцируема в некоторой окрестности точки ,
так что при 
из этой окрестности к графику
можно проводить касательные, составляющие угол 
с осью  .
Кривизной кривой
в точке 
(или при  )
называется число  Вершины кривых Примеры Радиус кривизны Упражнения Приближённое нахождение корней уравнений
и точек экстремума В этой главе речь пойдёт о приближённом
нахождении корней уравнения  . Дело в том, что решить это уравнение "точно", то есть
выразить его корни  через известные постоянные (целые числа, числа
 ,  и другие им подобные) с помощью элементарных функций от
этих постоянных, удаётся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше
4 не всегда выражаются "в радикалах", а общей формулы для уравнения степени выше
4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Отделение корней Пример Метод простого перебора Метод половинного деления
Пример Метод простых итераций
Теория Теорема
Если функция 
имеет производную в некоторой окрестности
корня 
уравнения  ,
причём 
при  ,
то последовательность итераций  ,
полученных при  ,
начиная с  ,
сходится к корню .
Метод секущих Метод одной касательной Метод Ньютона (метод касательных)
Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации
станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо
секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула
итераций будет иметь вид 
Пример Решим методом
Ньютона всё то же уравнение  , Метод хорд (метод линейной интерполяции)
Пример Решим уравнение
методом хорд. Приближённое нахождение точки экстремума
Метод простого перебора Метод почти половинного деления Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
Методы, связанные с приближённым нахождением
корня производной Пример
Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции  . Упражнения |
