[an error occurred while processing this directive]

Основные обозначения и определения Обратная функция Функции и их графики

Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$. Таким образом,

$\displaystyle f^{-1}:B\to A,\quad f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)=y,\ x\in A, y\in B.$

Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество $ f^{-1}(f(x))=x$, то есть композиция $ f^{-1}\circ f$-- это тождественное отображение $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A:A\to A$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A(x)=x$ для любого $ x\in A$. Точно так же $ f(f^{-1}(y))=y$, то есть $ f\circ f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B:B\to B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B(y)=y$, если $ y\in B$.

Последнее утверждение означает, что функция, обратная к $ f^{-1}$, равна $ f$: $ (f^{-1})^{-1}=f$, то есть что функции $ f$ и $ f^{-1}$-- это две взаимно обратные функции

Пример 1.21 Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Рис.1.31.Главная ветвь синуса

Поэтому существует обратная функция $ f^{-1}$, называемая арксинусом и обозначаемая $ \arcsin$ или $ \sin^{-1}$ (второе обозначение употребляется в англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
$\displaystyle \arcsin:[-1;1]\to[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}],$
$\displaystyle {\varphi}=\arcsin x,$ если $\displaystyle \sin{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$

Целые числа и алгоритмы теории чисел

 Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это элементарная часть математики. В школе арифметике учат, начиная с первого класса. Между тем арифметика, если ее понимать как учение о свойствах целых чисел и о действиях над ними, - трудный и далеко не элементарный раздел математики. Поэтому, на наш взгляд, было бы полезно, если бы школьники старших классов, имеющие склонность к математике, углубляли тот набор знаний, который они приобрели в младших классах

 Предлагаемый курс рассчитан на 20 часов. В программе рассматриваются наряду с уже известными вопросами такими как: делимость двух целых чисел, наибольший общий делитель целых чисел, наименьшее общее кратное целых чисел и способы их нахождения, вопросы которые в школьном курсе не рассматривались. А именно: формулируются и доказываются теорема о делении с остатком и основная теорема арифметики, подробно рассматриваются свойства простых и составных чисел, на основе теоремы о делении с остатком рассматривается еще один способ нахождения НОД целых чисел (алгоритм Евклида) и применение свойств НОД к решению уравнений в целых числах, а также рассматриваются некоторые вопросы теории сравнений. Особенностью курса является подробное описание основных алгоритмов: алгоритма Евклида, для нахождения НОД двух целых чисел, нахождения наименьшего общего кратного двух чисел, алгоритм нахождения простых чисел (решето Эратосфена), алгоритм разложения числа на простые множители, алгоритм решения линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными. Все эти алгоритмы могут быть реализованы практически на ЭВМ.

 

ТЕМА 1. Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности, произведения и частного

 Везде далее будем рассматривать только целые числа.

Опр. 1.1. Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а = bc. При этом число c называется частным от деления а на b.

Обозначения:  - а делится на b или b½a – b делит a

 Рассмотрим простейшие свойства делимости.

Для любых целых чисел a, b, c справедливы:

Теорема 1.2. Если  и с – частное от деления, то с – единственное.

Теорема 1.3.

Теорема 1.4. Если  и , то .

Теорема 1.5. Если  и , то или a=b, или a= -b.

Теорема 1.6. Если  и , то а=0.

Теорема 1.7. Если  и а¹0, то .

Теорема 1.8. Для того чтобы  необходимо и достаточно чтобы.

Замечание 1.9. На основании теоремы 1.8. в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость произвольных целых чисел сводится к делимости неотрицательных чисел.

Теорема 1.10. Если , то .

Теорема 1.11. Если сумма чисел и к-1 слагаемое этой суммы делится на некоторое число с, то и к-ое слагаемое делится на с.