Смешанное произведение Векторная алгебра

Предложение 10.28 Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.
Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:
1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;
2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.
Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов (свойства 2,3 теорема 10.2), векторного произведения (предложения 10.20,10.21), в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.
В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:
1) ${\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ ;
2) ${\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}={\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}$ .
Доказательство предложения 10.28. Соотношения $({\lambda}{\bf a}){\bf b}{\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ и ${({\bf a}_1+{\bf a}_2){\bf b}{\bf c}= {\bf a}_1{\bf b}{\bf c}+{\bf a}_2{\bf b}{\bf c}}$ следуют из того, что abc является скалярным произведением a на ${\bf b}\times {\bf c}$ и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3, теорема 10.2).
Для второго аргумента: в силу равенства(10.8) выполнено ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf b}{\bf c}{\bf a}}$ , поэтому
$\displaystyle {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}=({\lambda}{\bf b}){\bf c}{\bf a}={\lambda}({\bf b}{\bf c}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c}),$
$\displaystyle {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}=({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}{... ...f a}+{\bf b}_2{\bf c}{\bf a}= {\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}.$
Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.

Теперь подготовлен аппарат для доказательства предложения 10.21.
Доказательство предложения 10.21. Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть ${{\bf d}={\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})}$ , ${{\bf d}=({\alpha};{\beta};{\gamma})}$ , ${{\bf d}_1={\bf a}\times {\bf b}}$ , ${{\bf d}_1=({\alpha}_1;{\beta}_1;{\gamma}_1)}$ , ${{\bf d}_2={\bf a}\times {\bf c}}$ , ${{\bf d}_2=({\alpha}_2;{\beta}_2;{\gamma}_2)}$ . Нам нужно доказать, что ${{\bf d}={\bf d}_1+{\bf d}_2}$ , то есть что выполняются равенства: ${{\alpha}={\alpha}_1+{\alpha}_2}$ , ${{\beta}={\beta}_1+{\beta}_2}$ , ${{\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2}$ .
В силу предложения 10.16
$\displaystyle {\alpha}= Пр_{\bf i}{\bf d}=\frac {{\bf i}{\bf d}}{\vert{\bf i}\v... ... d}={\bf i}({\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c}))= {\bf i}{\bf a}({\bf b}+{\bf c}).$
По свойству линейности смешанного произведения
$\displaystyle {\alpha}={\bf i}{\bf a}{\bf b}+{\bf i}{\bf a}{\bf c}= {\bf i}{\bf d}_1+{\bf i}{\bf d}_2={\alpha}_1+{\alpha}_2.$
Аналогично доказываются равенства ${\beta}={\beta}_1+{\beta}_2$ , ${\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2$ .

Предложение 10.29 Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторыa,b,c, равен $\frac 16\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ .
Доказательство. Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).

Рис.10.28.Объем пирамиды

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле ${V=S_{ABDC}\cdot h}$ , а объем пирамиды-- ${V_{пир}=\frac 13 S_{\triangle ABC}\cdot h}$ . Так как ${S_{\triangle ABC}=\frac 12 S_{ABDC}}$ , то ${V_{пир}=\frac 16 V}$ .
По предложению 10.27 получим, что $V=\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ , а ${V_{пир}=\frac 16 \vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert}$ .

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

Предложение 10.30 Пусть в правом ортонормированном базисеi,j,kзаданы векторы ${{\bf a}=({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)}$ , ${{\bf b}=({\beta}_1;{\beta}_2;{\beta}_3)}$ , ${{\bf c}=({\gamma}_1;{\gamma}_2;{\gamma}_3)}$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\a... ...&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert.$

(10.9)

Доказательство. По предложению 10.25 находим координаты вектора ${\bf b}\times {\bf c}$ :
$\displaystyle {\bf b}\times {\bf c}=\left(\left\vert\begin{array}{cc} {\beta}_2... ...}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert\right).$
По теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ :
$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\alpha}_1 \left\vert\begin{... ...n{array}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.$
Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя $\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\\ {\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert$ . По определению ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})}$ , формула(10.9) доказана.

Предложения 10.26 и10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой (предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.

Пример 10.3 Является ли система векторов ${\bf a}=(1;1;-2)$ , ${\bf b}=(4;-1;3)$ , ${{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?
Находим

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 4&-1&... ...}\right\vert- 2\left\vert\begin{array}{rr} 4&-1\\ 6&1\end{array}\right\vert=0.$
По предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.

Введение в математический анализ Числовая последовательность Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1,х₂, …, х_n= {x_n}
Ограниченные и неограниченные последовательности
Монотонные последовательности
Число е
Связь натурального и десятичного логарифмов
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Бесконечно малые функции
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа