Упражнения Функции и их графики Примеры

Упражнения Функции и их графики

Упражнение 1.6 Пусть $f(x)=\arcsin x$ , $x\in[-1;1]$ , $g(u)=\cos u$ , $u\in\mathbb{R}$ . Тогда определены композиции $f\circ g$ и $g\circ f$ . Докажите, что при $x\in[-1;1]$ имеет место равенство $(g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$ . Выясните также, чему равна функция $f\circ g$ и каков её график.

Упражнение 1.7 Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.

а) $f(x)=\sin 2x$ ;

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

б) $f(x)=\cos x+3$ ;

в) $f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$ ;

г)

;

д)

;

е) $f(x)=\sqrt[5]{x}$ ;

ж) $f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$ ;

з) $f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$ ;

и) $f(x)=3^{x-2}$ ;

к) $f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$ ;

л) $f(x)=\log_2(x-1)$ ;

м) $f(x)=2^{3x-1}$ ;

н) $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$ .

Ответы:

а) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$ ;

б) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$ ;

в) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

г) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$ ;

д) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

е) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

ж) $\mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$ ;

з) $\mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ ;

и) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$ ;

к) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$ ;

л) $\mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

м) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$ ;

н) $\mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ .

Упражнение 1.8 Найдите области определения и области значений следующих функций:

а)

;

б) $f(x)=\cos2x+3\sin2x$ ;

в) $f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$ ;

г) $f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$ ;

д) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ ;

е) $f(x)=\sin(\arcsin x)$ ;

ж) $f(x)=\arcsin(\sin x)$ ;

з) $f(x)=2^{\log_2x}$ ;

и) $f(x)=(\sqrt{x})^2$ ;

к) $f(x)=\sqrt{x^2}$ ;

л) $f(x)=\sqrt{-x^2}$ ;

м) $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ .

Какие из этих функций из области $\mathcal{D}(f)$ в область $\mathcal{E}(f)$ являются биекциями?

Ответы:

Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции-- тождественные отобpажения:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$

пpи соответствующих областях $\mathcal{D}(f)$ . Все остальные функции-- не биекции.

а) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$ ;

б) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$ ;

в) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $x\in\mathcal{D}(f)$ .

г) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

д) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$ ;

е) $\mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$ ;

ж) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ ;

з) $\mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$ ;

и) $\mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$ ;

к) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$ ;

л) $\mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$ ;

м) $\mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$ .

Упражнение 1.9 Постройте графики функций:

а) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x,&\mbox{ при }x<0,\\ -x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}$

б) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\ x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}$

в) $f(x)=\ln\vert x\vert$ ;

г) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x+1\vert,&\mbox{... ...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1; \end{array} \right.\end{displaymath}$

д) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x-1\vert,&\mbox{... ...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}$

е) $f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$ ;

ж) $f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$ ;

з) $f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$ ; p class=pic>

и) $f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$ .

Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если

-- биекция, найдите обратную функцию $f^{-1}$ и постройте её график.

Ответы:

Биекцией является только функция п.б), пpи этом $f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\ \sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0. \end{array}\right.$

а) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$ ;

б) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

в) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

г) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

д) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$ ;

е) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;

ж) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ ;

з) $\mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$ ;

и) $\mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$ .

Введение в математический анализ Числовая последовательность Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1,х₂, …, х_n= {x_n}
Ограниченные и неограниченные последовательности
Монотонные последовательности
Число е
Связь натурального и десятичного логарифмов
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Бесконечно малые функции
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях авторынок орск;

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа