[an error occurred while processing this directive]

Упражнения Функции и их графики

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

Упражнение 1.7 Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.
а) $ f(x)=\sin 2x$;

б) $ f(x)=\cos x+3$;

в) $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$;

г) $ f(x)=x^2+4x+5$;

д) $ f(x)=x^3+1$;

е) $ f(x)=\sqrt[5]{x}$;

ж) $ f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$;

з) $ f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$;

и) $ f(x)=3^{x-2}$;

к) $ f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$;

л) $ f(x)=\log_2(x-1)$;

м) $ f(x)=2^{3x-1}$;

н) $ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$.

Ответы:
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$;
з) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;
и) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$;
л) $ \mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
м) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
н) $ \mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$.

Упражнение 1.8 Найдите области определения и области значений следующих функций:
а) $ f(x)=-x^2+6x-5$;
б) $ f(x)=\cos2x+3\sin2x$;
в) $ f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$;
г) $ f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$;
д) $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}$;
е) $ f(x)=\sin(\arcsin x)$;
ж) $ f(x)=\arcsin(\sin x)$;
з) $ f(x)=2^{\log_2x}$;
и) $ f(x)=(\sqrt{x})^2$;
к) $ f(x)=\sqrt{x^2}$;
л) $ f(x)=\sqrt{-x^2}$;
м) $ f(x)=\sqrt{4-x^2}$.
Какие из этих функций из области $ \mathcal{D}(f)$ в область $ \mathcal{E}(f)$ являются биекциями?
Ответы:
Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции-- тождественные отобpажения:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$
пpи соответствующих областях $ \mathcal{D}(f)$. Все остальные функции-- не биекции.
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\;
\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $ x\in\mathcal{D}(f)$.
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\;
\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$;
е) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;
з) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
и) $ \mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
л) $ \mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$;
м) $ \mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$.

Упражнение 1.9 Постройте графики функций:
а) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x,&\mbox{ при }x<0,\\
-x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;
\end{array}
\right.\end{displaymath}

б) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\
x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0;
\end{array}
\right.\end{displaymath}

в) $ f(x)=\ln\vert x\vert$;

г) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\log_2\vert x+1\vert,&\mbox{...
...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1;
\end{array}
\right.\end{displaymath}

д) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\log_2\vert x-1\vert,&\mbox{...
...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0;
\end{array}
\right.\end{displaymath}

е) $ f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$;

ж) $ f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$;

з) $ f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$; p class=pic>

и) $ f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$.
Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $ f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если $ f$-- биекция, найдите обратную функцию $ f^{-1}$ и постройте её график.
Ответы:
Биекцией является только функция п.б), пpи этом $ f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\
\sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0.
\end{array}\right.$
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$;
з) $ \mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$;
и) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$.