[an error occurred while processing this directive]

Пределы Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример 2.1 Пусть $ x_0=0$ и рассматривается функция $ f(x)=2\sin x+1$. Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$
Для этого фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$, задающее окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$, и выясним, при каких $ x$ значения функции $ f(x)$ будут попадать в эту окрестность точки1.
Рис.2.2.График $ y=2\sin x+1$


Попадание значений $ f(x)$ в окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$ означает, что выполняется неравенство $ {\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}$, то есть $ {\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки $ {x_0=0}$. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при $ {\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. Таким образом, если взять $ {{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$ (это число больше 0), то при $ {x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}$ будет выполнено неравенство $ {\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}$, что и означает, что предел равен числу 1: $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1$, или $ {2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}$.

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

Payday loans online legal status of payday loans.

Определение 2.2 Предел последовательности при $ n\rightarrow \infty$.
Пусть дана бесконечная последовательность $ \{y_n\}$ чисел, занумерованных по порядку:
$\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .$
(Эту последовательность можно рассматривать как функцию $ f(n)=y_n$, определённую при всех натуральных значениях аргумента $ n$.) Дадим определение предела последовательности $ \{y_n\}$ при условии, что номер $ n$ неограниченно растёт (это условие обозначается $ n\rightarrow \infty$). Стремление $ n$ к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа $ N\in\mathbb{N}$, то есть начинает выполняться неравенство $ n>N$. Если при этом числа $ y_n$ становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу $ L$, то это число-- предел последовательности, что записывается так:
$\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.$

Рис.2.3.Последовательность и её предел


Формализуем сказанное. Множества чисел $ n$, заданные условиями $ n>N$, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство $ L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n$ означает тогда, что
для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ N$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ n>N$ (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство $ \vert y_n-L\vert<{\varepsilon}$.
При этом число $ L$ называется пределом последовательности $ \{y_n\}$ при условии $ {n\rightarrow \infty}$. Тот факт, что $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L$, записывают также в виде
$\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.$