Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Пределы Общее определение предела

Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ($ x$ или $ n$), от которого зависит изменяющаяся величина ($ f(x)$ или $ y_n$). В случае условия $ x\rightarrow x_0$ эти множества имеют вид $ (x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$; в случае $ x\rightarrow +\infty$-- вид $ (a;+\infty)$; в случае $ n\rightarrow \infty$-- вид $ \{n\in\mathbb{N}:n>N\}=\{N+1,N+2,\dots\}$. Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний-- базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, $ x\to x_0$, $ x\to+/infty$, $ n\to\infty$ и т.п. Таким образом,

$\displaystyle \{x\rightarrow x_0\}=\{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta}),\ {\delta}>0\},$

$\displaystyle \{n\rightarrow \infty\}=\{\{n\in\mathbb{N}:n>N\},\ N\in\mathbb{N}\},$

$\displaystyle \{x\rightarrow +\infty\}=\{(a;+\infty),\ a\in\mathbb{R}\}.$

Итак, база предела-- это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если $ E_1$ и $ E_2$-- два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание $ E_3$, которое содержится в каждом из первых двух: $ E_3\sbs E_1\cap E_2$.

Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания-- непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, $ E_3$ можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами.

Произвольную базу будем обозначать $ \mathcal{B}$, а её окончания-- буквой $ E$, быть может, снабжённой индексами. Если $ {E_1,E_2\in\mathcal{B}}$, причём $ {E_2\sbs E_1}$, то окончание $ E_2$ будем называть более далёким, чем окончание $ E_1$. Например, для базы $ {x\rightarrow +\infty}$ окончание $ {\{x>b\}}$ более далёкое, чем $ {\{x>a\}}$, если $ {b>a}$; для базы $ {x\rightarrow x_0}$ окончание $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$ является тем более далёким, чем меньше число $ {{\delta}>0}$.

Теперь дадим определение предела по заданной базе $ \mathcal{B}$.

Определение 2.4 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$) и обозначается
$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$
если
для любого (сколь угодно малого) числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство
$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}.$
Тот факт, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L.$

Нетрудно заметить, что в случае баз $ x\rightarrow x_0$, $ n\rightarrow \infty$ и $ x\rightarrow +\infty$ это общее определение предела, при соответствующей подстановке вида окончаний этих баз, означает ровно то же самое, что приведённые выше, в предыдущем разделе, частные определения пределов.

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости $ xOy$, на которой нарисован график функции $ y=f(x)$, проведём горизонтальную полосу ширины $ 2{\varepsilon}$ вокруг горизонтальной прямой $ y=L$. Тот факт, что $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L$, означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы $ \mathcal{B}$, на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.

Рис.2.8.График функции, имеющей предел, умещается в любую узкую полосу на достаточно далёком окончании

Полупроводники