[an error occurred while processing this directive]

Пределы Общее определение предела

Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ($ x$ или $ n$), от которого зависит изменяющаяся величина ($ f(x)$ или $ y_n$). В случае условия $ x\rightarrow x_0$ эти множества имеют вид $ (x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$; в случае $ x\rightarrow +\infty$-- вид $ (a;+\infty)$; в случае $ n\rightarrow \infty$-- вид $ \{n\in\mathbb{N}:n>N\}=\{N+1,N+2,\dots\}$. Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний-- базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, $ x\to x_0$, $ x\to+/infty$, $ n\to\infty$ и т.п. Таким образом,

$\displaystyle \{x\rightarrow x_0\}=\{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta}),\ {\delta}>0\},$

$\displaystyle \{n\rightarrow \infty\}=\{\{n\in\mathbb{N}:n>N\},\ N\in\mathbb{N}\},$

$\displaystyle \{x\rightarrow +\infty\}=\{(a;+\infty),\ a\in\mathbb{R}\}.$

Итак, база предела-- это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если $ E_1$ и $ E_2$-- два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание $ E_3$, которое содержится в каждом из первых двух: $ E_3\sbs E_1\cap E_2$.

Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания-- непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, $ E_3$ можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами.

Произвольную базу будем обозначать $ \mathcal{B}$, а её окончания-- буквой $ E$, быть может, снабжённой индексами. Если $ {E_1,E_2\in\mathcal{B}}$, причём $ {E_2\sbs E_1}$, то окончание $ E_2$ будем называть более далёким, чем окончание $ E_1$. Например, для базы $ {x\rightarrow +\infty}$ окончание $ {\{x>b\}}$ более далёкое, чем $ {\{x>a\}}$, если $ {b>a}$; для базы $ {x\rightarrow x_0}$ окончание $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$ является тем более далёким, чем меньше число $ {{\delta}>0}$.

Теперь дадим определение предела по заданной базе $ \mathcal{B}$.

Определение 2.4 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$) и обозначается
$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$
если
для любого (сколь угодно малого) числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство
$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}.$
Тот факт, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L.$

Нетрудно заметить, что в случае баз $ x\rightarrow x_0$, $ n\rightarrow \infty$ и $ x\rightarrow +\infty$ это общее определение предела, при соответствующей подстановке вида окончаний этих баз, означает ровно то же самое, что приведённые выше, в предыдущем разделе, частные определения пределов.

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости $ xOy$, на которой нарисован график функции $ y=f(x)$, проведём горизонтальную полосу ширины $ 2{\varepsilon}$ вокруг горизонтальной прямой $ y=L$. Тот факт, что $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L$, означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы $ \mathcal{B}$, на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.

Рис.2.8.График функции, имеющей предел, умещается в любую узкую полосу на достаточно далёком окончании