дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Уравнение плоскости Аналитическая геометрия

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

Теорема 11.1 Пусть вектор $ {\bf n}=(A,B,C),\quad{\bf n}\ne0,$ является нормальным вектором плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M_0(x_0,y_0,z_0)$ . Тогда уравнение
$\displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$(11.1)

является уравнением плоскости $ \Pi$ .
Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Доказательство. Пусть $ M(x,y,z)$ -- некоторая точка плоскости $ \Pi$ (рис.11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.




Рис.11.1.


Вектор $ \overrightarrow {M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ лежит на плоскости $ \Pi$ . Следовательно, вектор $ \overrightarrow {M_0M}$ ортогонален вектору n. Если же взять точку $ Q$ , не лежащую на плоскости $ \Pi$ , то вектор $ \overrightarrow {M_0Q}$ не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка $ M$ лежит в плоскости $ \Pi$ , является выполнение равенства

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {M_0M}=0.$(11.2)

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле(10.1), получим формулу(11.1).

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки $ M$ плоскости $ \Pi$ , $ {\bf r}_0$ -- радиус-вектор точки $ M_0$ . Тогда уравнение(11.2) можно переписать в виде

$\displaystyle {\bf n}\cdot({\bf r}-{\bf r}_0)=0.$

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости $ \Pi$ .

Раскроем скобки в уравнении(11.1). Так как точка $ M_0$ -- фиксированная, то выражение $ -Ax_0-By_0-Cz_0$ является числом, которое обозначим буквой $ D$ . Тогда уравнение(11.1) принимает вид

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$(11.3)


Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов $ A,\,B,\,C$ отличен от нуля, так как $ {\bf n}\ne0$ .

Верно и обратное утверждение:

Введение в математический анализ  Числовая последовательность Примеры решения и оформления задач контрольной работы Математика Примеры решения задач
Свойства эквивалентных бесконечно малых
Некоторые замечательные пределы
  Непрерывность функции в точке
 Непрерывность некоторых элементарных функций
Точки разрыва и их классификация
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях чартеры в Испанию - самые выгодные цены на авиабилеты;