[an error occurred while processing this directive]

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства


В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.

Определение 2.9 Функция $ {\alpha}(x)$ называется бесконечно малой величиной при базе $ \mathcal{B}$, если её предел при данной базе равен 0, то есть $ {\alpha}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.

Заметим, что в этом определении фигурирует фиксированная база $ \mathcal{B}$; в зависимости от того, какая именно база взята, одна и та же функция может как быть бесконечно малой, так и не быть ею.

Пример 2.8 Рассмотрим функцию $ f(x)=2x-1$. При базе $ x\to\frac{1}{2}$ эта функция является бесконечно малой, а при базе $ x\to0$-- не является.
Рис.2.16.График функции $ y=2x-1$


Проверим это. Покажем, что $ {\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}(2x-1)=0}$. Возьмём произвольное $ {{\varepsilon}>0}$ и решим неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$. Оно эквивалентно неравенству $ {-{\varepsilon}<2x-1<{\varepsilon}}$. Получаем ; это означает, что при $ {x\in(\frac{1}{2}-{\delta};\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\frac{1}{2}+{\delta})}$, где $ {{\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$, неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$ выполняется, то есть $ {2x-1\xrightarrow {x\to\frac{1}{2}}0}$. Мы показали, что $ {2x-1}$-- бесконечно малая при $ {x\to\frac{1}{2}}$.

Теперь покажем, что $ \lim\limits_{x\to0}(2x-1)=-1$, то есть что эта величина не является бесконечно малой при $ x\to0$. Возьмём $ {\varepsilon}>0$ и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству $ \vert x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$, то есть при $ {\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ попадание $ x$ в $ {\delta}$-окрестность точки 0 гарантирует выполнение неравенства $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ (2x-1)\xrightarrow {x\to0}-1$.

Задачи.

С помощью операторов подстановки, примитивной рекурсии и минимизации постройте следующие функции:

Частичную разность

Знак разности

Факториал

Степенную функцию

Показательную функцию

Характеристическую функцию множества простых чисел: она равна 1, если x - простое число и 0 в противном случае.

Функцию, равную 1, если числа x и y взаимно просты (общий делитель равен единице) и 0 в противном случае.

Функцию, вычисляющую остаток от деления x на y.

Функцию, вычисляющую неполное частное [12] при делении x на y.