Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства Примеры

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.9 Функция $f(x)=\dfrac{1}{x}$ -- бесконечно малая при $x\to+\infty$ , $x\to-\infty$ и при $x\to\pm\infty$ . Для того, чтобы это доказать, достаточно для любого ${\varepsilon}>0$ указать окончание $\vert x\vert>a$ базы $x\to\pm\infty$ , на котором выполняется неравенство $\left\vert\dfrac{1}{x}\right\vert<{\varepsilon}$ . При $\vert x\vert>a=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ , очевидно, неравенство выполняется. Это означает, что $\dfrac{1}{x}\xrightarrow {x\to\pm\infty}0$ .
Докажем теперь теорему, связывающую бесконечно малые с величинами, имеющими произвольное значение предела.

Теорема 2.4 Функция имеет при базе предел, равный , тогда и только тогда, когда величина ${\alpha}(x)=f(x)-L$ является бесконечно малой при базе $\mathcal{B}$ :
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f(x)=L\quad\Longleftrightarrow \quad{\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0.$
Доказательство. Согласно определению предела, равенство $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ означает, что для любого ${\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $E\in\mathcal{B}$ , что

$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$

(2.1)

Условие ${\alpha}(x)=f(x)-L\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что для любого ${\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $E\in\mathcal{B}$ , что

$\displaystyle \vert(f(x)-L)-0\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Но это, очевидно, то же, что формула (2.1).

Теперь обратимся к свойствам, касающимся собственно бесконечно малых.

Теорема 2.5 Пусть ${\alpha}(x)$ и ${\beta}(x)$ -- бесконечно малые при одной и той же базе $\mathcal{B}$ . Тогда и их сумма ${\gamma}(x)={\alpha}(x)+{\beta}(x)$ -- тоже бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство.Пусть фиксировано некоторое число ${\varepsilon}>0$ . Рассмотрим положительное число $\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ . Условие ${\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $E_1\in\mathcal{B}$ , на котором $\vert{\alpha}(x)\vert$ меньше этого положительного числа: $\vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $x\in E_1$ .
Точно так же, условие ${\beta}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $E_2\in\mathcal{B}$ , на котором $\vert{\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $x\in E_2$ . По определению базы, она содержит некоторое окончание $E_3\sbs E_1\cap E_2$ . Так как -- часть как , так и , то оба неравенства выполняются при $x\in E_3$ . Тогда при $x\in E_3$ будет
$\displaystyle \vert{\gamma}(x)\vert=\vert{\alpha}(x)+{\beta}(x)\vert\leqslant ... ...\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}+\dfrac{{\varepsilon}}{2}={\varepsilon}.$
Итак, при произвольно заданном ${\varepsilon}>0$ мы предъявили такое окончание $E_3\in\mathcal{B}$ , на котором выполняется неравенство $\vert{\gamma}(x)\vert<{\varepsilon}$ . Это означает, что ${\gamma}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ , то есть что ${\gamma}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ .

Введение в математический анализ Числовая последовательность Примеры решения и оформления задач контрольной работы Математика Примеры решения задач
Свойства эквивалентных бесконечно малых
Некоторые замечательные пределы
Непрерывность функции в точке
Непрерывность некоторых элементарных функций
Точки разрыва и их классификация
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа