[an error occurred while processing this directive]

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства


Пример 2.10 При базе $ x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ {\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Вместе с ними и величина $ {\gamma}(x)=\dfrac{1+x}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ тоже является бесконечно малой при базе $ x\to+\infty$.

Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин.

Следствие 2.1 Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$-- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, $ {n\geqslant 2}$. Тогда величина

$\displaystyle {\beta}_n(x)={\alpha}_1(x)+{\alpha}_2(x)+\ldots+{\alpha}_n(x)$
также является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для $ n-1$ слагаемых; это означает, что величина $ {\beta}_{n-1}(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}(x)$ бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для $ n$ слагаемых. По условию бесконечно мала также величина $ {\alpha}_n(x)$ и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых $ {{\beta}_{n-1}(x)+{\alpha}_n(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}+{\alpha}_n(x)={\beta}_n(x)}$. Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых $ n$.

В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название.

Определение 2.10 Функция $ f(x)$ называется локально ограниченной при базе $ \mathcal{B}$, если она определена на некотором окончании $ E_0$ этой базы и существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $ x\in E_0$.

Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе $ x\to x_0$


Пример 2.11 Любая постоянная величина $ C$ локально ограничена при любой базе. Действительно, в качестве ограничивающей постоянной $ K$ достаточно взять $ K=\vert C\vert$; тогда условие $ \vert C\vert=K\leqslant K$ верно для $ x$ из любого окончания $ E$ любой базы $ \mathcal{B}$.

Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего.

Предложение 2.1 Пусть при данной базе $ \mathcal{B}$ две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе.

Доказательство. Из условия следует, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K_1$ при $ x\in E_1$ и $ \vert g(x)\vert\leqslant K_2$ при $ x\in E_2$, где $ K_1,K_2$-- некоторые постоянные и $ E_1,E_2$-- некоторые окончания базы $ \mathcal{B}$. Возьмём окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$; при $ x\in E_3$ будут выполнены оба неравенства и, следовательно,

$\displaystyle \vert f(x)g(x)\vert=\vert f(x)\vert\,\vert g(x)\vert\leqslant K_1K_2.$

Это означает, что постоянная $ K=K_1K_2$ служит ограничивающей постоянной для произведения $ f(x)g(x)$ на окончании $ E_3$, то есть это произведение локально ограничено при базе $ \mathcal{B}$.

Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция $ f(x)=x$ локально ограничена при базе $ x\to0$, но не является ограниченной функцией при всех $ x\in\mathbb{R}$. Если в качестве базы рассматривается $ x\to x_0$, то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки$ x_0$.

Теорема 2.6 Пусть функция $ f(x)$ имеет предел при базе $ \mathcal{B}$. Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.

Доказательство. Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$; это означает, что при любом $ {\varepsilon}>0$ (возьмём, например, $ {\varepsilon}=1$) найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ для любого $ x\in E$. Тем самым, при $ {\varepsilon}=1$ выполнено двойное неравенство $ -1+L<f(x)<1+L$.

Выберем из двух чисел $ -1+L$ и $ 1+L$ число с большей абсолютной величиной и обозначим его $ K$: $ K=\max\{\vert-1+L\vert,\vert 1+L\vert\}$. Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что $ \vert f(x)\vert<K$; это означает, что функция $ f(x)$ локально ограничена.

В частности, локально ограничены при базе $ \mathcal{B}$ все бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, так как все они, по определению, имеют предел (равный 0).