[an error occurred while processing this directive]

Пределы Общие свойства пределов

Замечание 2.3 Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}\cdot\sin x$ при $ x\to\pm\infty$ имеет предел, равный 0, однако предела $ \sin x$ при $ x\to\pm\infty$ не существует (хотя другой множитель, $ \dfrac{1}{x}$, имеет предел при этой базе).
Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.

Следствие 2.4 Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ и $ C=\mathrm{const}$ (то есть $ C$-- постоянная величина). Тогда существует предел функции $ Cf(x)$, равный $ CL$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}Cf(x)=CL.$

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, $ \lim\limits_{\mathcal{B}}C=C$, и применить теорему 2.9.

Доказанное следствие означает, что постоянный множитель $ C$ можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

Следствие 2.5 Пусть функции $ f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$ имеют при базе $ \mathcal{B}$ пределы, равные соответственно $ L_1,L_2,\dots,L_n$, и $ C_1,C_2,\dots,C_n$-- постоянные. Тогда
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}(C_1f_1(x)+C_2f_2(x)+\ldots+C_nf_n(x))=
C_1L_1+C_2L_2+\ldots+C_nL_n.$

Доказательство. Оно состоит в последовательном $ (n-1)$-кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым $ C_kf_k(x)$, предел которых, согласно предыдущему следствию, равен $ C_kL_k$.

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность $ f(x)-g(x)$ можно представить в виде $ 1\cdot f(x)+(-1)\cdot g(x)$ и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(f(x)-g(x))=\lim_{\mathcal{B}}f(x)-\lim_{\mathcal{B}}g(x),$

то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

Пример: Вычислить предел

Решение:

1. Выражение под знаком предела (рациональная дробь) является отношением двух бесконечно малых функций при . Разложим числитель и знаменатель на множители:

 

2. Поскольку в определении предела функции при аргумент не может принимать значение равное , то можно сократить множитель  . Получаем:

Ответ:

Замечание 2.4 Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ всех функций, заданных на фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеющих предел при базе $ \mathcal{B}$-- это линейное пространство, а во-вторых-- что операция взятия предела $ \lim\limits_{\mathcal{B}}$-- это линейное отображение линейного пространства $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ в линейное пространство вещественных чисел $ \mathbb{R}$. Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.

Предел отношения двух функций $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$, в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя $ f(x)$ и знаменателя $ g(x)$, даже если пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)$ существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример: