[an error occurred while processing this directive]

Пределы Общие свойства пределов

Упражнение 2.5 Найдите пределы:
$\displaystyle L_1=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-8x+3}{x^3-2x^2};$
$\displaystyle L_2=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-2x+3\sin 5x}{2x+\cos(x^2)};$
$\displaystyle L_3=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3x^3+1}}{\sqrt{2x^3-1}}.$
Ответ: $ L_1=1$; $ L_2=-1$; $ L_3=\sqrt{\frac{3}{2}}$.
Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на $ x^3$, во втором-- на $ x$ и в третьем-- на $ \sqrt{x^3}$. Во втором примере воспользуйтесь тем, что $ 3\sin 5x$ и $ \cos(x^2)$-- величины, ограниченные при всех $ x$ (и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).

Теорема 2.11 (теорема "о двух милиционерах") Пусть даны три функции $ f_1(x)$, $ f_2(x)$ и $ {\varphi}(x)$, при всех $ x$ из некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ связанные неравенством
$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x).$
Пусть функции $ f_1(x)$ и $ f_2(x)$ имеют общий предел при базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f_1(x)=\lim_{\mathcal{B}}f_2(x)=L.$
Тогда функция $ {\varphi}(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, равный тому же числу $ L$:
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}{\varphi}(x)=L.$

Доказательство. Согласно определению предела, для любого $ {\varepsilon}>0$ найдутся такие окончания базы $ E_1$ и $ E_2$, что при $ x\in E_1$ выполняется неравенство

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L<{\varepsilon},$

а при $ x\in E_2$-- неравенство

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_2(x)-L<{\varepsilon}.$

Значит, для окончания $ E\sbs E_0\cap E_1\cap E_2$ при всех $ x\in E$ выполняются неравенства

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L\leqslant {\varphi}(x)-L\leqslant f_2(x)-L<{\varepsilon},$

то есть

$\displaystyle -{\varepsilon}<{\varphi}(x)-L<{\varepsilon}.$

Это означает, что предел величины $ {\varphi}(x)$ равен $ L$.

Рис.2.21.Два милиционера $ f_1$ и $ f_2$ и пьяный $ {\varphi}$ движутся в участок $ L$


(Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции $ y=f_1(x)$-- это траектория движения первого милиционера в участок, график $ y=f_2(x)$-- второго милиционера туда же, а график $ y={\varphi}(x)$-- траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством

$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x),$

в любой момент $ x$ между двумя милиционерами. Тогда и этот гражданин неизбежно придёт туда же, в участок $ L$.)

Теорема 2.12 (теорема о пределе неотрицательной величины) Пусть $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\geqslant 0$. Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется.

Доказательство. Если бы предел $ L$ был отрицательным, то можно было бы взять $ {\varepsilon}=-\frac{L}{2}>0$ и найти такое окончание базы $ E_1$, что при $ x\in E_1$ выполняется неравенство $ -{\varepsilon}=\frac{L}{2}<f(x)-L<{\varepsilon}=-\frac{L}{2}$, откуда $ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}<0$. Это же будет выполнено на некотором окончании $ E_2\sbs E\cap E_1$, что противоречит предположению, что $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in E$. Противоречие доказывает, что отрицательным предел $ L$ быть не может, то есть $ L\geqslant 0$.

Следствие 2.6 Пусть $ f(x)\leqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\leqslant 0$.

Доказательство. Для доказательства достаточно взять функцию $ f_1(x)=-f(x)\geqslant 0$, применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).