[an error occurred while processing this directive]

Пределы Общие свойства пределов

Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве) Пусть при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ выполняется неравенство $ {f_1(x)\leqslant f_2(x)}$. Предположим, что существуют пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)=L_1$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2$. Тогда $ L_1\leqslant L_2$ (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства $ \geqslant $.
Доказательство. Рассмотрим функцию $ g(x)=f_2(x)-f_1(x)$. По условию теоремы, $ g(x)\geqslant 0$, причём
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=
\lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)-\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2-L_1.$
Применим к функции $ g(x)$ теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что $ L_2-L_1\geqslant 0$, то есть $ L_2\geqslant L_1$, что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.
Замечание 2.6 Аналогичные утверждения для строгих неравенств ($ >$ и $ <$) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел $ \lim\limits_{x\to0+}x$. Очевидно, он равен 0, хотя при любом $ x$ из любого окончания $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$ величина $ f(x)=x$ строго положительна.

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0


Напомним, что функция $ f(x)$ называется не убывающей на множестве $ {A\sbs\mathbb{R}}$, если для любых $ {x_1,x_2\in A}$, таких что $ {x_1<x_2}$, выполняется неравенство $ {f(x_1)\leqslant f(x_2)}$, и невозрастающей на $ A$, если при $ {x_1,x_2\in A}$ и $ {x_1<x_2}$ выполняется неравенство $ {f(x_1)\geqslant f(x_2)}$.
Теорема 2.13(о пределе монотонной функции) Пусть рассматривается одна из баз $ n\to\infty$, $ x\to+\infty$, $ x\to x_0-$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\leqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\leqslant C$.

Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции


Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел $ \{C\}$, где числа $ C$ ограничивают функцию $ f(x)$ сверху, существует точная нижняя грань $ L=\inf\{C\}$; она-то и будет пределом неубывающей функции.
Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 или С.М.Никольский, Курс математического анализа, т.1.
Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты $ t=-x$:
Следствие 2.8 Пусть рассматривается одна из баз $ {n\to\infty}$, $ {x\to+\infty}$, $ {x\to x_0-}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании$ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная$ C$, что $ {f(x)\geqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\geqslant C}$.

Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции


Следствие 2.9 Пусть рассматривается одна из баз $ x\to-\infty$, $ x\to x_0+$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\geqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\geqslant C$.

Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции


Следствие 2.10 Пусть рассматривается одна из баз $ {x\to-\infty}$, $ {x\to x_0+}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании$ E$ базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная$ C$, что $ {f(x)\leqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\leqslant C}$.

Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции