[an error occurred while processing this directive]

Пределы Первый и второй замечательные пределы

  Пример 2.18   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$.
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{x}{\sin x}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}},$
при этом предел знаменателя $ \dfrac{\sin x}{x}$ -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}=
\dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}=
\dfrac{1}{1}=1.$
    
        Пример 2.19   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$.
Сделаем замену переменного: пусть $ y=\arcsin x$. Тогда $ x=\sin y$ и база $ x\to0$ переходит в базу $ y\to0$. После замены получаем

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}=
\lim\limits_{y\to0}\dfrac{\sin y}{y}=1.$

Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.

Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде . Требуется определить постоянные К1, К2 и λ так, чтобы функции x(t), y(t) удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

,  – корни характеристического уравнения.

Корню  соответствует система

 или .

Полагаем , тогда . Получаем решение системы:

.

Корню  соответствует система

 или .

Получаем , тогда . Получим решение системы:

.

Общее решение исходной системы имеет вид

 

    
        Пример 2.20   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$.
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{\arcsin x}{x}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{\arcsin x}},$
при этом предел знаменателя $ \dfrac{x}{\arcsin x}$ был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}=
\dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}}=
\dfrac{1}{1}=1.$
    
        Пример 2.21   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$.
Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}=
\lim\limits_{x\to0}
\left(\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot\dfrac{2}{3}\right).$
Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}=
\dfrac{2}{3}
\lim\...
...s_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot.$
(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах $ t=2x$ и $ y=3x$ база $ x\to0$ переходит в базу $ t\to0$ и $ y\to0$, так что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}=
\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1$
и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}=
\lim\limits_{y\to0}\dfrac{y}{\sin y}=1.$
Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}=
\dfrac{2}{3}\cdot1\cdot1=\dfrac{2}{3}.$
    
        Определение 2.12   Вторым замечательным пределом называется предел
$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$
    

Число $ e$, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число $ e$ часто называют основанием натуральных логарифмов.