Пределы Первый и второй замечательные пределы

  Пример 2.18   Вычислим предел .

Очевидно, что

при этом предел знаменателя  -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

    

        Пример 2.19   Вычислим предел .

Сделаем замену переменного: пусть . Тогда и база переходит в базу . После замены получаем

    

        Пример 2.20   Вычислим предел .

Очевидно, что

при этом предел знаменателя был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем

    

        Пример 2.21   Вычислим предел .

Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:

Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:

(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах и база переходит в базу и , так что

и

Поэтому

    

        Определение 2.12   Вторым замечательным пределом называется предел

    

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

  Комплексные числа
Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
 При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z). Матрицы Математика Примеры решения задач
 Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
 Тригонометрическая форма числа
Возведение в степень
Показательная форма комплексного числа
Разложение многочлена на множители
  Элементы высшей алгебры   Основные понятия теории множеств
 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях apple iphone 4 16 gb;