[an error occurred while processing this directive]

Пределы Первый и второй замечательные пределы

        Теорема 2.15   Второй замечательный предел существует. Его значение $ e$ -- число, лежащее между $ 2\frac{3}{7}$ и $ 3$
Более подробное изучение числа $ e$ показывает, что $ e$ -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:
$\displaystyle e=2{,}7182818285{\dots}\quad.$
Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона.
        Лемма 2.2   Пусть $ a,b\in\mathbb{R}$ и $ n$ -- натуральное число. Тогда имеет место формула
\begin{multline}
(a+b)^n=\\
{=}a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1\cdot2}a^{n-2}b^...
...-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)n}
b^n.
\end{multline}
Заметим, что в дроби
$\displaystyle \frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)n},
$
очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный $ n$, в третьем справа слагаемом -- равный $ \dfrac{n(n-1)}{1\cdot2}$, и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.
        Доказательство.     Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру $ n$. При $ n=1$ формула 2.2, очевидно, верна:
$\displaystyle (a+b)^1=a+b.$
(Заметим, что при $ n=2$ и $ n=3$ формула 2.2 также хорошо известна:
$\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
и
$\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3b^2a+b^3.)$
Предположим, что она верна для $ n=k$, и докажем, что тогда она верна и при $ n=k+1$. Действительно,
\begin{multline*}
(a+b)^{k+1}=(a+b)^k\cdot(a+b)=(a+b)^ka+(a+b)^kb=\\
=a^{k+1}...
...c{k(k-1)}{1\cdot2}\right]
a^{k-2}b^3+\ldots+(k+1)ab^k+b^{k+1}.
\end{multline*}
При этом в квадратных скобках получается:
$\displaystyle \frac{k(k-1)}{1\cdot2}+
 k=k\left(\frac{k-2}{2}+1\right)=\frac{(k+1)k}{1\cdot2};$   
$\displaystyle \frac{k(k-1)(k-2)}{1\cdot2\cdot3}+
 \frac{k(k-1)}{1\cdot2}=\frac{k(k-1)}{1\cdot2}\cdot\left(\frac{k-2}{3}+1\right)=$   
$\displaystyle =\frac{k(k-1)}{1\cdot2}\cdot\frac{k+1}{3}=\frac{(k+1)k(k-1)}{1\cdot2\cdot3}$   

и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при $ n=k+1$.     
        Доказательство теоремы 2.15.     Рассмотрим последовательность $ {y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$ и применим к $ y_n$ формулу бинома Ньютона при $ a=1$ и $ b=\frac{1}{n}$. Получим
\begin{multline}
y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\
=1{+}n\cdot\frac{1}{n}{...
...cdot\frac{n-(n-1)}{n}\cdot
\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}.
\end{multline}
Покажем, что последовательность $ y_n$ ограничена сверху. Для этого заменим все дроби $ \frac{n-1}{n}$, $ \frac{n-2}{n}$, ..., $ \frac{n-(n-1)}{n}$ на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы (Доказательство теоремы 2.15) увеличится:
$\displaystyle y_n<2+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\ldots+
\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}.$
Далее, заменим все числа $ 3,\dots,n$ в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим:
$\displaystyle y_n<2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}.$
В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}.$
Поэтому
$\displaystyle y_n<2+1-\frac{1}{2^{n-1}}<3,$
что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3.
Покажем теперь, что последовательность $ y_n$ не убывает. Действительно, запишем формулу (Доказательство теоремы 2.15) в виде
\begin{multline}
y_n=2+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{1\cdot2}+
\left...
...-\frac{n-1}{n}\right)
\cdot\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}.
\end{multline}
В аналогичной формуле, написанной для $ n+1$ вместо $ n$, во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое
$\displaystyle \left(1-\frac{1}{n+1}\right)
\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\ldots
...
...eft(1-\frac{n}{n+1}\right)
\cdot\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\cdot(n+1)}.$
Следовательно, при росте номера $ n$ члены последовательности $ y_n$ строго возрастают: $ y_{n+1}>y_n$ при всех $ n\in\mathbb{N}$.
Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности $ y_n$ теорему о пределе монотонной ограниченной функции ( теорема 2.13) и получим, что существует предел
$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,$
причём число $ e$ не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что $ y_4=(1+\frac{1}{4})^4=2\frac{113}{256}=2\frac{339}{768}>2\frac{3}{7}$. Так как все последующие члены $ y_n$ ещё больше, то и предел $ e$, на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве ( следствие 2.7), не меньше числа $ 2\frac{113}{256}>2\frac{3}{7}$, что и завершает доказательство теоремы.     
        Замечание 2.7   Можно также показать, что

однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.
В формуле (2.5) можно сделать замену $ {\alpha}=\frac{1}{x}$, при этом база $ x\to+\infty$ перейдёт в базу $ {\alpha}\to0+$, и мы получим
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0+}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$