Пределы Бесконечно большие величины и бесконечные пределы Примеры

Пример 2.26 Примером отрицательной бесконечно большой при $x\to0+$ может служить функция $f(x)=\ln x$ .

Рис.2.32.График $y=\ln x$

В качестве упражнения найдите зависимость числа ${\delta}>0$ , задающего окончание $(0;{\delta})$ базы $x\to0+$ , от числа

Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин устанавливает следующая теорема.

Теорема 2.16 Пусть -- функция, бесконечно большая при базе $\mathcal{B}$ . Тогда величина ${\alpha}(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ .

Доказательство. Для начала заметим, что на всех достаточно далёких окончаниях базы $\mathcal{B}$ будет $\vert f(x)\vert>N>0$ , так что функция ${\alpha}(x)$ определена на этих окончаниях. Далее, пусть взято некоторое ${\varepsilon}>0$ . Положим $N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ и выберем такое окончание , что $\vert f(x)\vert>N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ при из этого окончания. Тогда $\vert{\alpha}(x)\vert=\dfrac{1}{\vert f(x)\vert}<\dfrac{1}{N}={\varepsilon}$ при таких , что и означает, что ${\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ .

Замечание 2.9 Утверждение, обратное к доказанной теореме, вообще говоря, неверно: если ${\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ , то функция $f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ не всегда является бесконечно большой при базе $\mathcal{B}$ , хотя бы потому, что может быть не определена ни на каком окончании

базы $\mathcal{B}$ . Простейший пример -- это постоянная величина ${\alpha}=0$ , которая, очевидно, бесконечно мала при любой базе ( $\lim\limits_{\mathcal{B}}0=0$ ), но $\dfrac{1}{{\alpha}}$ не имеет смысла ни при каких

. Однако если сделать дополнительное предположение, что ${\alpha}(x)\ne0$ при всех

из некоторого окончания

базы $\mathcal{B}$ , то обратное утверждение становится верным.

Теорема 2.17 Пусть ${\alpha}(x)$ -- такая бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ , что ${\alpha}(x)\ne0$ при всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ . Тогда функция $f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ -- бесконечно большая при базе $\mathcal{B}$ .

Докажите эту теорему в качестве упражнения.

Утверждение, что некоторая функция является бесконечно большой положительной величиной при базе $\mathcal{B}$ означает при вычислении пределов, что при замене база $\mathcal{B}$ переходит в базу $y\to+\infty$ . Если же -- отрицательная бесконечно большая, то после замены получится база $y\to-\infty$ . Прослеживая за изменениями баз при последовательных заменах, можно вычислять многие пределы.

Пример 2.27 Найдём предел $\lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}$ .

Рассмотрим замену $t=\dfrac{1}{x}$ . При $x\to0+$ будет $t=\dfrac{1}{x}\to+\infty$ . Пусть теперь

. При $t\to+\infty$ будет $z=-t\to-\infty$ . Наконец, пусть

. При $z\to-\infty$ будет $y=e^z\to0+$ . (См. графики, расположенные ниже.) Последнее соотношение означает, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}=0$

(и что, вдобавок, величина

остаётся положительной).

Рис.2.33.Графики зависимостей $t=\dfrac{1}{x}$ ,

Заметим, что при решении было важно отследить изменение функций именно при , стремящемся к 0 справа. В качестве упражнения покажите, что если бы рассматривалась база $x\to0-$ , то получилась бы бесконечно большая положительная величина $y=e^{-\frac{1}{x}}$ , а при базе $x\to0$ величина не имеет никакого предела и не является бесконечно большой.

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа