[an error occurred while processing this directive]

Пределы Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Выше, в примерах 2.17 и 2.23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью функций. Дадим теперь строгое определение непрерывности и обсудим способы вычисления пределов с помощью этого понятия.

        Определение 2.14   Пусть $ x_0$ -- внутренняя точка области определения функции $ f(x)$, то есть функция $ f(x)$ определена при всех $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), окружающего точку $ x_0$. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
(то есть предполагается, что этот предел существует и равен значению функции в указанной точке).    

Рис.2.34.Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$

        Пример 2.28   При доказательстве теоремы о первом замечательном пределе нами было получено, что $ \lim\limits_{x\to0+}\sin x=0$ (формула (2.3)). Так как $ \sin(-x)=-\sin x$, то с помощью замены $ t=-x$ легко показать, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\sin x=0,}$ а из теоремы о связи односторонних и двустороннего пределов отсюда следует, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0.$
Эта формула означает, что функция $ f(x)=\sin x$ непрерывна в точке $ x_0=0$.
Там же была получена формула (2.4): $ {\lim\limits_{x\to0+}\cos x=1.}$ Пользуясь тем, что $ {\cos(-x)=\cos x}$, и сделав замену $ {t=-x}$, получим, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\cos x=1.}$ Поэтому и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\cos x=\cos0=1.$
Это означает, что функция $ {g(x)=\cos x}$ также непрерывна при $ {x_0=0}$.
Покажем, что функция $ \sin x$ непрерывна при любом $ x_0\in\mathbb{R}$. По определению, для этого нужно доказать, что
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0.$
Положим $ h=x-x_0$ и заметим, что база $ x\to x_0$ при такой замене переходит в базу $ h\to0$. Далее,
$\displaystyle \sin x=\sin(x_0+h)=\sin x_0\cos h+\cos x_0\sin h.$
Поэтому
\begin{multline*}
\lim_{x\to x_0}\sin x=\lim_{h\to0}\sin(x_0+h)=
\lim_{h\to0}(...
... x_0\lim_{h\to0}\sin h=
\sin x_0\cdot1+\cos x_0\cdot0=\sin x_0
\end{multline*}
(здесь мы воспользовались линейностью предела; $ \sin x_0$ и $ \cos x_0$ были при этом постоянными коэффициентами), что и доказывает непрерывность синуса.
Совершенно аналогично, с использованием формулы
$\displaystyle \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h,$
доказывается непрерывность при любом $ x_0$ функции $ \cos x$.
 

Постановка задачи: Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что  

План решения:

1. По определению число  называется пределом числовой последовательности , если:>=><. Это означает, что  неравенство < имеет решение >

2. Зададим число >0 , оно может быть как угодно мало.

3. Найдем, при каких  справедливо неравенство <.

4. Если решение имеет вид >, то -предел числовой последовательности . Если решение неравенства < нельзя представить в виде > , то число  не является проделом последовательности .

5. Определить целое значение  

Пример: Доказать, что   (указать )

Решение:

1. По определению число  называется пределом числовой последовательности , если

 :><,

2. Зададим >0.

3. Найдем, при каких справедливо неравенство < т.е. решим это неравенство относительно .

<<<;

<; т. к. >0 при >1

>>>

4. Мы доказали, что 2 является пределом последовательности

5. > > , где  - целая часть положительного числа, она может быть меньше рассматриваемого числа, поэтому увеличиваем его на единицу .

Ответ: =