[an error occurred while processing this directive]

Пределы Использование непрерывности функций при вычислении пределов

        Определение 2.15   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), примыкающем к точке $ x_0$ справа. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$, и
$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.35.Функция $ f(x)$ непрерывна справа в точке $ x_0$

Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$ ( $ {\delta}>0$), примыкающем к точке $ x_0$ слева. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$, и
$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.36.Функция $ f(x)$ непрерывна слева в точке $ x_0$

    

Из теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним сразу следует такая

        Теорема 2.18   Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она непрерывна справа в точке $ x_0$ и непрерывна слева в точке $ x_0$.     

Поскольку $ x_0=\lim\limits_{x\to x_0}x$, то непрерывность функции в точке $ x_0$ означает, что обозначения функции $ f$ и предела $ \lim\limits_{x\to x_0}$ можно поменять местами:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(\lim_{x\to x_0}x).$(2.6)

То же касается и непрерывности слева и справа.

Назовём элементарной любую функцию $ f(x)$ переменного $ x$ из следующего списка:

$\displaystyle C;x^m;a^x;\sin x$
($ C,m,a$ -- произвольные постоянные вещественные числа, $ a>0$), а также любую функцию, полученную из этих элементарных функций при помощи композиций, арифметических операций, перехода к обратной функции.

При этом в число элементарных функций попадают, например, все многочлены

$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$
(где $ a_0,\dots,a_n$ -- постоянные), все рациональные дроби
$\displaystyle R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$
(где $ P(x)$ и $ Q(x)$ -- многочлены), а также $ \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$, $ \mathop{\rm tg}\nolimits x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $ \arcsin x$ (обратная к главной ветви $ \sin$), $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ (обратная к главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $), $ \log_a x$ (обратная к $ a^x$) и другие функции, с которыми можно было встретиться ещё в школьном курсе анализа.

Однако не все функции, рассматривающиеся в курсе математического анализа, являются элементарными. Примером может служить довольно часто употребляющаяся функция

$\displaystyle \mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{rl}
-1&\text{ при }x<0;\\
0&\text{ при }x=0;\\
1&\text{ при }x>0.
\end{array}\right.$

Рис.2.37.График функции $ \mathop{\rm sign}\nolimits x$

Если бы не значение $ \mathop{\rm sign}\nolimits 0=0$, её можно было бы рассматривать как элементарную: при $ x\ne0$ она совпадает с функцией

$\displaystyle g(x)=\dfrac{(x^2)^{\frac{1}{2}}}{x}=\dfrac{\vert x\vert}{x},$
которая при $ x=0$ не определена. Однако незначительное, на первый взгляд, отличие играет ключевую роль с точки зрения следующей теоремы.
        Теорема 2.19   Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Частичное доказательство теоремы мы приведём ниже, в главе о свойствах непрерывных функций. Заметим, что выше мы уже доказали непрерывность функции $ \sin x$. Полное доказательство теоремы можно найти в подробных учебниках по математическому анализу, например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.    

В качестве примера рассмотрим только что введённую функцию $ g(x)=\dfrac{\vert x\vert}{x}$. Её график таков:

2.38.График функции $ g(x)=\frac{\vert x\vert}{x}$

Для любой точки $ x_0$ из области определения этой функции либо $ x_0>0$, и тогда $ g(x)=1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$, либо $ x_0<0$, и тогда $ g(x)=-1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$. Очевидно, что тогда в первом случае

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=
\lim\limits_{x\to x_0}1=1=g(x_0),$
а во втором --
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=
\lim\limits_{x\to x_0}(-1)=-1=g(x_0),$
то есть функция непрерывна в любой точке $ x_0$ своей области определения.

В случае функции $ \mathop{\rm sign}\nolimits x$ всё дело "портит" точка $ x_0=0$: очевидно, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm sign}\nolimits x=
\lim\limits_{x\to0+}1=1\ne0=\mathop{\rm sign}\nolimits 0,$
то есть в точке 0 нет непрерывности справа. (Точно так же нет и непрерывности слева.)

Используя непрерывность элементарных функций, на основании общих теорем можно во многих (простых) случаях находить значение пределов прямой подстановкой предельного значения $ x$ в выражение, стоящее под знаком предела. Именно так мы поступим при вычислении предела в следующем примере.