[an error occurred while processing this directive]

Определение 2.16 Пусть фиксирована некоторая база $ \mathcal{B}$ и на некотором её окончании $ E$ заданы две функции $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$, бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Предположим также, что $ \psi(x)\ne0$ при всех $ x\in E$. Пусть существует
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$
Если $ L\ne0$, то бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что и $ \psi(x)$. Этот факт обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$
Если же $ L=0$, то $ {\varphi}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $ \psi(x)$. Это обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$

Заметим, что если $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$, то для всех $ x$ из некоторого окончания $ E'$ базы $ \mathcal{B}$ будет выполнено неравенство $ {\varphi}(x)\ne0$. Это сразу следует из того, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L\ne0.$

Предложение 2.2 Если при базе $ \mathcal{B}$ бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ \psi(x)$, то и $ \psi(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ {\varphi}(x)$, то есть
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)...
...htarrow \quad\psi(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$(S)

Если две бесконечно малых $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ одного порядка малости, и две бесконечно малых $ \psi(x)$ и $ \chi(x)$ тоже одного порядка малости при базе $ \mathcal{B}$, то две величины $ {\varphi}(x)$ и $ \chi(x)$ также имеют один и тот же порядок малости при базе $ \mathcal{B}$, то есть
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)...
...htarrow \quad{\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\chi(x).$(T)

Кроме того, бесконечно малая величина $ {\varphi}(x)\ne0$ имеет тот же порядок малости, что она же сама:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$(R)

Доказательство. Поскольку $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=
\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac
{1}
{\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}}
=L\ne0,$ то $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}=\dfrac{1}{L}\ne0$, откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\chi(x)}=
\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}=L\cdot M\ne0,$

где

$\displaystyle M=\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}\ne0$

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}(x)}=1\ne0.$

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, заданное в множестве бесконечно малых при данной базе $ \mathcal{B}$ величин $ {\varphi}(x),\psi(x),\chi(x),\dots$, является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения $ \sim$, заданного в некотором множестве объектов $ {\varphi},\psi,\chi,\dots$, означает, что выполнено свойство
(R): $ {\varphi}\sim{\varphi}$,
транзитивность-- что выполнено свойство
(T): $ {\varphi}\sim\psi,\ \psi\sim\chi\quad\Longrightarrow \quad{\varphi}\sim\chi$,
а симметричность-- что выполнено свойство
(S): $ {\varphi}\sim\psi\quad\Longrightarrow \quad\psi\sim{\varphi}$.

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение $ \sim$ разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом $ {\varphi}$ попадают все объекты $ \psi$, для которых $ \psi\sim{\varphi}$.

Поэтому все бесконечно малые при данной базе $ \mathcal{B}$ величины разбиваются на классы по отношению $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.