[an error occurred while processing this directive]
Пример 2.36 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$
Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, $ x^2$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin3x$. Аналогично проверяется, что $ 2x^3$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin5x$. Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}.$
Далее, поскольку $ \sin3x$, очевидно, эквивалентен $ 3x$ (согласно первому замечательному пределу), а $ \sin5x$ эквивалентен $ 5x$, то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на$ x$:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{5x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}.$
При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.
Предложение 2.8 Пусть $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)$ и $ \psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi_1(x)$. Тогда:
1) $ {\varphi}(x)\psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)\psi_1(x)$
и
2) $ {\varphi}^m(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1^m(x)$ при любом $ m>0$ (в случае, если степень $ z^m$ определена только при $ z\geqslant 0$, нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство $ {\varphi}(x)\geqslant 0$.
(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку $ m$-- не обязательно целое число.)
Доказательство. Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)\psi(x)}{{\varphi}_1(x)\psi_1(x)}=1,$
если известно, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1$
и
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\psi_1(x)}=1.$
Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2.9).
Второе утверждение означает, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}^m(x)}{{\varphi}_1^m(x)}=
\lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1,$
если известно, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1.$
Это следует из того, что степенная функция $ g(z)=z^m$ непрерывна при любом $ z=z_0$, если $ m>0$. Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:
$\displaystyle \lim_{z\to z_0}g(z)=g(\lim_{z\to z_0}z)=g(z_0).$
В случае степенной функции $ g(z)=z^m$, сделав замену переменного $ z=z(x)$ и связанную с ней замену базы, мы получим, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}z(x)^m=\left(\lim_{\mathcal{B}}z(x)\right)^m.$
Беря $ z(x)=\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}$, получаем, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\righ...
...=
\left(\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1^m=1,$
что и требовалось доказать.