Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Пределы Таблица эквивалентных бесконечно малых

 

Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы $ x\to0$ создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу $ x\to0$, для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак $ \sim$ вместо $ \mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}$.

1) $ \sin x\sim x$. Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность $ \sin x$ и $ x$ при $ x\to0$ означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) $ \arcsin x\sim x$. Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) $ \mathop{\rm tg}\nolimits x\sim x$. Докажем эту эквивалентность:

 

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{x}=
\lim_{x\to0}\...
...lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to0}\cos x}=\dfrac{1}{1}=1.$

 

4) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x\sim x$. Докажите это в качестве упражнения, сделав замену $ z=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и применив предыдущую табличную формулу.

5) $ 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$. Для доказательства воспользуемся формулой $ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$. Далее, имеем:

 

\begin{multline*}
\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2/2}=
\lim_{x\to0}\dfrac{2\si...
...ot
\lim_{x\to0}\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1\cdot1=1.
\end{multline*}

 

 

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) $ \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$ . Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

 

\begin{multline*}
\dfrac{\log_a(1+x)}{\dfrac{x}{\ln a}}=\ln a\cdot\dfrac{1}{x}\...
...\dfrac{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\ln a}=
\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}.
\end{multline*}

 

 

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

 

$\displaystyle \lim_{x\to0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=
\ln\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=
\ln e=1,$

 

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при $ a=e$, получаем эквивалентность

$ 6'$) $ \ln(1+x)\sim x$.

7) $ a^x-1\sim x\ln a$ ( ). Для доказательства сделаем замену $ z=\log_a(1+x)$ и выразим $ x$ через $ z$: $ x=a^z-1$. Согласно формуле 6, при $ x\to0$, откуда $ x\sim z\ln a$. Из непрерывности логарифма следует, что $ z\xrightarrow {x\to0}0$ и, значит, $ a^z-1\sim z\ln a$ при $ {z\to0}$. В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного $ z$ на $ x$, чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при $ a=e$, получаем эквивалентность

$ 7'$) $ e^x-1\sim x$.

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней $ x\to0$.

1)$ \sin x\sim x$.
2)$ \arcsin x\sim x$.
3)$ \mathop{\rm tg}\nolimits x\sim x$.
4)$ \mathop{\rm arctg}\nolimits x\sim x$.
5)$ 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$.
6)$ \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$ ( ).
$ 6'$)$ \ln(1+x)\sim x$.
7) $ a^x-1\sim x\ln a$ ( ).
$ 7'$)$ e^x-1\sim x$.

Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$.  

Полупроводники