[an error occurred while processing this directive]

Пределы Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример 2.37 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$. Для этого в числителе вынесем за скобку $ e^{2x}$, а к знаменателю применим формулу $ {\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\dfrac{{\alpha}+{\beta}}{2}\sin\dfrac{{\alpha}-{\beta}}{2}}$, где $ {\alpha}=7x$, $ {\beta}=3x$. Получим

Мы заменили на эквивалентную величину $ 3x$ (учтя при этом, что $ 3x\to0$ при $ x\to0$), $ \sin2x$ на эквивалентную величину $ 2x$ (учтя, что $ 2x\to0$ при $ x\to0$), затем сократили числитель и знаменатель на $ x$ и, наконец, воспользовались тем, что функции $ e^{2x}$ и $ \cos5x$ непрерывны и что $ e^0=1$ и $ \cos0=1$.

Пример 2.38 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$
Заменим в числителе $ \sin^23x$ на эквивалентную величину $ (3x)^2$, а знаменатель $ {1-\cos x^2}$-- на эквивалентную величину $ \dfrac{(x^2)^2}{2}$. После этого можно будет сократить дробь на $ x^4$ и получить ответ:
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}=
\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\cdot(3x)^2}{\dfrac{(x^2)^2}{2}}=
\lim_{x\to0}\dfrac{9x^4}{\dfrac{x^4}{2}}=18.$

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе $ x\to0$. Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах $ x\to0+$ и $ x\to0-$. Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе $ x\to0$ (или $ x\to0+$, или $ x\to0-$) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

Пример 2.39 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$.
Если сделать замену $ t=x-\pi$, то при $ x\to\pi$ новая переменная $ t$ будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база $ x\to\pi$ перейдёт при такой замене в "стандартную" базу $ t\to0$. Подставляя $ x=t+\pi$ и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:
$\displaystyle \lim_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}=
\lim_{t\to0}\dfrac{1+...
...0}\dfrac{1-\cos t}{t^2}=
\lim_{t\to0}\dfrac{\dfrac{t^2}{2}}{t^2}=\dfrac{1}{2}.$
Мы применили табличную формулу $ 1-\cos t\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\to0}}\dfrac{t^2}{2}$, а затем сократили дробь на $ t^2$ и получили ответ.

Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу:
\begin{multline*}
e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim...
...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}=
\dfrac{x}{2}.
\end{multline*}

Здесь мы последовательно воспользовались формулами
$\displaystyle e^{\alpha}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\alpha}\to0}}{\alpha}...
...1-\cos{\delta}\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\delta}\to0}}\frac{{\delta}^2}{2}$
и учли, что величины $ {\alpha}=\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\beta}=\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\gamma}=\cos\sqrt{x}-1$, $ {\delta}=\sqrt{x}$ являются бесконечно малыми при $ x\to0+$.
Используя полученную в результате эквивалентность
$\displaystyle e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{x}{2},$
мы можем, например, вычислить предел