[an error occurred while processing this directive]

Пределы Упражнения на вычисление пределов

Упражнение 2.9 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{\sin x}.$
Ответ: 4.

Упражнение 2.10 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to e}\dfrac{\ln x-1}{x-e}.$
Ответ: $ \dfrac{1}{e}$.

Упражнение 2.11 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}x(e^{\frac{1}{x}}-1).$
Ответ: 1.

Упражнение 2.12 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos2x}.$
Ответ: $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Упражнение 2.13 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{6}}
\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos x}.$
Ответ: 2.

Упражнение 2.14 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{2x+3}{x+2}\right)^x.$
Ответ: 0.

Упражнение 2.15 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(1-\cos x)}{\sin^2x^2}.$
Ответ: $ \frac{1}{8}$.

Упражнение 2.16 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}.$
Ответ: $ \frac{2}{3}$.

Упражнение 2.17 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x).$
Ответ: $ \frac{1}{2}$.

Упражнение 2.18 Вычислите предел:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)\mathop{\rm tg}\nolimits x.$

Ответ: 1.

Задачи

Придумайте МТ, реализующую функцию Z(x)=0 [9].  Для удобства будем считать, что внешний алфавит состоит из единицы и x – символа пустой ячейки. Число ноль кодируется одной единицей, число один – двумя и так далее. Число n кодируется n+1 идущей подряд единицей. Машина должна оставить только одну единицу.

Придумайте МТ, реализующую функцию следования . Используйте кодировку из предыдущей задачи. Машина должна пририсовать к ряду единиц еще одну.

Придумайте МТ, выполняющую сложение в указанной выше кодировке. Два складываемых числа разделяются знаком *. Процесс заключается в следующем: * стирается, на ее место пишется 1, и стирается одна последняя единица.

Рассмотрите более сложный вариант сложения: два числа (серии единиц) отделены друг от друга несколькими пустыми ячейками. В начальный момент времени каретка находится левее первого числа или над первой единицей первого числа. Машина должна приписать к первому числу на одну меньше единиц, чем стоит во втором числе, и стереть второе число. После каретка должна вернуться на первую слева цифру суммы.

Реализуйте в виде МТ функцию следования для обычной десятичной записи. Для этого понадобиться найти последнюю цифру в записи числа. Если эта цифра – не девять, то заменить ее следующей и остановить работу (можно еще выйти на первую цифру слова). Если последняя цифра 9, то она заменяется на ноль, делается сдвиг влево и предпринимается попытка увеличить на единицу обозреваемую цифру. Особо надо рассмотреть случай, когда исходное число состоит только из девяток. Тогда последний шаг – запись в ближайшую слева пустую ячейку единицы.