Прямая в пространстве Аналитическая геометрия

Замечание 11.3 Если в качестве параметра взять время, то точка будет двигаться по прямой со скоростью $\vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент ее положение совпадает с точкой . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.
От векторного соотношения(11.12) перейдем к соотношениям координат. Так как -- координаты точки , то ${{\bf r}=(x;y;z)}$ , ${{\bf r}_0=(x_0;y_0;z_0)}$ , ${t{\bf p}=(tk;tl;tm)}$ . Из формулы(11.12) получим

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x=kt+x_0,\\ y=lt+y_0,\\ z=mt+z_0.\end{array}\right.$

(11.13)

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.
Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части-- координаты точки на прямой.
Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.
Из уравнений(11.13) выразим параметр :
$\displaystyle t=\frac{x-x_0}k,\quad t=\frac{y-y_0}l,\quad t=\frac{z-z_0}m.$
Так как во всех трех соотношениях параметр имеет одно и то же значение, то

$\displaystyle \frac{x-x_0}k=\frac{y-y_0}l=\frac{z-z_0}m.$

(11.14)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Замечание 11.4 В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты $k,\,l,\,m$ , из которых одна нулевая.

Пример 11.3 Прямая с каноническими уравнениями

$\displaystyle \frac{x-2}1=\frac{y-2}2=\frac{z+5}0$
имеет направляющий вектор ${\bf p}=(1;2;0)$ .

Замечание 11.5 Канонические уравнения прямой(11.14) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} l(x-x_0)=k(y-y_0),\\ m(x-x_0)=k(z-z_0).\end{array}\right.$
Возможны, впрочем, еще две записи системы, подумайте какие.

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа