дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия


Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки $ M_0$ на прямой, мы уже обсуждали выше Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Во-первых, можно найти координаты другой точки $ M_1$ на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор $ \overrightarrow {M_0M_1}$ .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить $ {{\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2}$ .

Пример 11.4 Прямая задана уравнениями
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$(11.15)
Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)
Требуется написать ее параметрические уравнения.
Решение. Найдем какую-нибудь точку $ M_0$ на прямой. Положим $ z=0$ . Система(11.15) примет вид
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+1=0,\\ x+2y+2=0,\end{array}\right.$
Решая ее, находим $ x=-\frac 87$ , $ y=-\frac 37$ . Таким образом, на прямой лежит точка $ M_0\left(-\frac 87;-\frac37;0\right)$ . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы(11.15), являются $ {{\bf n}_1=(2;-3;4)}$ , $ {{\bf n}_2=(1;2;-2)}$ . Положим $ {\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2$ . Тогда
$\displaystyle {\bf p}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ 2&-3&4\\ 1&2&-2\end{array}\right\vert= -2{\bf i}+8{\bf j}+7{\bf k}.$
Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.
Ответ: $ \left\{\begin{array}{l}x=-2t-\frac87,\\ y=8t-\frac37,\\ z=7t.\end{array}\right.$

Следующая, часто встречающаяся, задача такая:

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

 

Операции над множествами Пример Пределы Математика Примеры решения задач
Отношения и функции
 Алгебраические структуры
Курс лекций высшей математики - второй семестр Уравнение линии на плоскости
  Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
  Нормальное уравнение прямой
Угол между прямыми на плоскости
Подготовка к экзамену высшая математика
Примеры решения задач по высшей математике
Дифференциальные уравнения

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;