[an error occurred while processing this directive]

Определение непрерывности функции


Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

Определение 3.1 Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$
Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;b)$, для которого $ x_0$-- левый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0+$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$
Пусть, наконец, функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (a;x_0]$, для которого $ x_0$-- правый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0-$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

Предложение 3.1 Функция $ f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $ x_0$, когда она непрерывна в точке $ x_0$ справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:
1) функция $ f(x)$ определена в точке $ x_0$ и в некоторой окрестности этой точки;
2) существует предел значений функции слева: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0-)$;
3) существует предел значений функции справа: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0+)$;
4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0-)=f(x_0+)=f(x_0)$.

Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с $ f(x_0)$

Точка $ x_0$, в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции $ f(x)$; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

2. Функция y = x2

Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области опреде­ления функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.

График функции y = x2 называется параболой.

Свойства функции у = х2.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством  значений  функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).

4.  Если значения аргумента отличают­ся только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.