[an error occurred while processing this directive]

Определение непрерывности функции

 

Пример 3.1 Пусть $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и $ x_0=0$. Тогда $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и $ {f(0)=\sqrt{0}=0}$. Эти значения совпадают, значит, функция $ f$ непрерывна в точке $ x_0=0$.
(Функция $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}=(x^2)^{\frac{1}{4}}$-- элементарная функция; $ x_0=0$-- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить $ f(x)$ $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$любой элементарной функцией, а $ x_0=0$-- любой внутренней точкой области $ \mathcal{D}(f)$, и вывод остался бы тем же.)

Пример 3.2 Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\
1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку $ {x_0=0}$. При $ {x\ne0}$ функция задаётся формулой $ {f(x)=\dfrac{\sin x}{x}}$, при этом имеем $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$ (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при $ x=0$: $ f(0)=1$. Итак, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=1$, что означает непрервыность функции $ f$ при $ x_0=0$.

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Предложение 3.2 Пусть $ \mathcal{B}(x_0)$-- база непроколотых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат интервалы $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0-)$-- база непроколотых левых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ (x_0-{\delta};x_0]$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0+)$-- база непроколотых правых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ [x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$. Тогда непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ эквивалентна тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)}f(x)$; непрерывность слева в точке $ x_0$-- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0-)}f(x)$; непрерывность справа в точке $ x_0$-- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0+)}f(x)$.

Функции и их свойства

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен­ной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля­ется функцией от переменной х. Значения зависи­мой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствую­щее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образу­ют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образу­ют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область оп­ределения не указана, то считают, что область оп­ределения функции состоит из всех значений аргу­мента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1.      аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2.      табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3.      описательный способ (функция задается словесным описанием)

4.      графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос­ти, абсциссы которых равны значениям аргу­мента, а ординаты — соответствующим значениям функции.