[an error occurred while processing this directive]

Непрерывность функций Определение точек разрыва

   Пример 3.3   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$, для которой
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x^2-x\ne0\}=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$
Функция имеет разрывы при $ x=0$ и при $ x=1$. Нетрудно видеть, что при $ x\ne0,\ x\ne1$ $ f(x)=\mathop{\rm sign}\nolimits (x^2-1)=\left\{\begin{array}{rl}
1,&\mbox{ если }x<0\mbox{ или }x>1;\\
-1,&\mbox{ если }0<x<1.
\end{array}\right.
$ В точках $ x=0$ и $ x=1$ функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке $ x=0$ имеем:
$\displaystyle \lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}1=1;\ \lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}(-1)=-1$
(значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке $ x=1$ --
$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(-1)=-1;\ \lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}1=1$
(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).     

Рис.3.5.График функции $ y=\frac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$

        Пример 3.4   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to0-$.     

Рис.3.6.График функции $ f(x)=\frac{1}{x}$

  

Простейшая классификация функций

Определение. Множество Х называется симметричным относительно точки О (ноль), если из условия следует, что .

Определение. Функция у = f(x) называется четной, если ее область определения симметрична и выполняется равенство

Из симметричности области определения и из того, что наряду с точкой (х,у) графику функции принадлежит точка (- x,y), следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х2 функция четная, так как

а область определения R (множество всех действительных чисел) симметричное.

Определение. Функция y=f(x) называется нечетной, если область ее определения симметрична и выполняется равенство

для всех х из области определения.