[an error occurred while processing this directive]
h1 align="CENTER">Непрерывность функций Определение точек разрыва

Определение точек разрыва

      Пример 3.5   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и $ x\to0-$.     

Рис.3.7.График функции $ f(x)=\frac{1}{x^2}$

        Пример 3.6   Возьмём $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Все точки области определения $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку $ x_0=0$ не входит в область определения функции $ f(x)$, но $ f(x)$ определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции $ f(x)$. Разобранный выше пример 3.2 показывает, что если доопределить эту функцию при $ x_0=0$, положив $ {f(0)=1}$, то функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$.     

Рис.3.8.Устранимый разрыв функции $ \frac{\sin x}{x}$

ЗАДАЧА 3

Постановка задачи: Вычислить предел , где

 - бесконечно большая последовательность порядка  и 

 - бесконечно большая последовательность порядка  (, IR).

План решения:

1. Вынесем в числителе множитель , получим ,

где , .

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим 

, где ,

3. Имеем

4. Получаем :

Если , то =

Если , то =0

Если , то по теореме о пределе частного



        Пример 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$. Её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$ состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка $ {x_0=0}$, в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку $ {-\dfrac{1}{x^2}\to-\infty}$ при $ {x\to0}$, то $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=0}$. Это означает, что при $ {x=0}$ функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить $ {f(0)=0}$.     

Рис.3.9.Устранимый разрыв функции $ e^{-\frac{1}{x^2}}$

        Пример 3.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$, где $ n\in\mathbb{N}$. При $ x=0$ она имеет разрыв, так как $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Поскольку $ \sin\frac{1}{x}$ -- ограниченная функция, а $ x^n\to0$ при $ x\to0$, то $ \lim\limits_{x\to0}=0$ (по теореме 2.7). Следовательно, разрыв устранимый, и если доопределить функцию, положив $ f(0)=0$, она становится непрерывной при всех $ x\in\mathbb{R}$.     

Рис.3.10.График функции $ y=x^n\sin\frac{1}{x}$ при $ n=2$