[an error occurred while processing this directive]

Непрерывность функций Определение точек разрыва

   Пример 3.9   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$
При $ x\ne k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \vert\cos x\vert\in[0;1)$, так что последовательность $ y_n=(\cos x)^n=\cos^nx$ -- это геометрическая прогрессия со знаменателем $ q=\cos x$, $ \vert q\vert<1$, и $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0.$ При $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=1$, и все $ y_n=1^n=1$, так что $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1.$ При $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=-1$, и последовательность имеет вид
$\displaystyle y_1=-1,\ y_2=1,\ y_3=-1,\ y_4=1,\dots.$
Эта последовательность предела не имеет, так что функция $ f(x)$ не определена при $ x\in\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$.
Рис.3.11.График функции $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\cos^nx$

Получаем, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{x=\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}$. Точками разрыва этой функции служат как все точки, не принадлежащие области определения (точки вида $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$), так и все точки вида $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, в которых функция принимает значение 1. Все точки разрыва -- устранимые, так как пределы функции слева и справа в этих точках совпадают и равны 0.     
        Пример 3.10   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$; её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$, и точка $ x=0$ -- точка разрыва. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва. При $ x\to0-$ будет $ \frac{1}{x}\to-\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to0$; при $ x\to0+$ будет $ \frac{1}{x}\to+\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$. Итак, значения "на правом берегу" разрыва не существует, и разрыв функции $ f(x)$ в точке $ x=0$ -- второго рода.     

Рис.3.12.График функции $ y=e^{\frac{1}{x}}$

        Замечание 3.1   Если функция $ f(x)$ не определена на интервале, примыкающем к точке $ x_0$ слева или справа, то точку $ x_0$ мы не считаем точкой разрыва функции.     
        Пример 3.11   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Её область определения -- $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:1-x^2>0\}=(-1;1)}$. При $ {x\to-1+}$ и при $ {x\to1-}$ знаменатель $ {\sqrt{1-x^2}}$ стремится к 0 и положителен, так что $ {f(x)\to+\infty}$. однако точки $ {x=-1}$ и $ {x=1}$ мы не считаем точками разрыва, так как функция $ f(x)$ не определена при $ {x<-1}$ и при    $ {x>1}$.     

Рис.3.13.График функции $ y=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

        Пример 3.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$. Её область определения -- это $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}}$. Точка $ {x=0}$ не является точкой разрыва функции $ f(x)$, несмотря на характер её поведения при $ {x\to0+}$, поскольку функция $ f(x)$ не определена при $ {x<0}$.     

Рис.3.14.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$