дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Окружность Кривые и поверхности второго порядка

 

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение 12.2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 12.1 Окружность радиуса $ R$ с центром в точке $ M_0(x_0;y_0)$ имеет уравнение
$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$(12.2)

Доказательство. Пусть $ M(x;y)$ -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние $ MM_0$ равно $ R$ (рис. 12.1)


Рис.12.1.Окружность

По формуле(10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=R.$

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(12.2).

Если в уравнении(12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным $ x$ и $ y$ .

Пример 12.1 Нарисуйте кривую $ {x^2+y^2-2x+6y+6=0}$ .

Решение. Выделив полные квадраты, получим
$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=2^2.$
Итак, центр окружности -- $ M_0(1;-3)$ , радиус равен 2 (рис. 12.2).



Рис.12.2.Окружность, заданная уравнением $ x^2+y^2-2x+6y+6=0$


Решение задачи закончено.

Операции над множествами Пример Пределы Математика Примеры решения задач
Отношения и функции
 Алгебраические структуры
Курс лекций высшей математики - второй семестр Уравнение линии на плоскости
  Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
  Нормальное уравнение прямой
Угол между прямыми на плоскости
Подготовка к экзамену высшая математика
Примеры решения задач по высшей математике
Дифференциальные уравнения

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;