[an error occurred while processing this directive]

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

  Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad
C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$
    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

 

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.



Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень $ x_0=c_i$, либо будет построена система вложенных отрезков

$\displaystyle [a;b]\sps[a_1;b_1]\sps[a_2;b_2]\sps\ldots\sps[a_i;b_i]\sps\ldots,$

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность $ a_0=a,a_1,a_2,\dots,a_i,\dots$ -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом $ b$); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=a'$. Последовательность $ {b_0=b,b_1,b_2,\dots,b_i,\dots}$ -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом $ a$); значит, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}b_i=b'$. Поскольку длины отрезков $ b_i-a_i$ образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем $ \frac{1}{2}$), то они стремятся к 0, и $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=\lim\limits_{i\to\infty}b_i$, то есть $ a'=b'$. Положим теперь $ x_0=a'=b'$. Тогда

$\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(a_i)=f(a')=f(x_0)$ и $\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(b_i)=f(b')=f(x_0),$

поскольку функция $ f$ непрерывна. Однако, по построению последовательностей $ \{a_i\}$ и $ \{b_i\}$, $ f(a_i)<0$ и $ f(b_i)>0$, так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), $ \lim\limits_{i\to\infty}f(a_i)\leqslant 0$ и $ \lim\limits_{i\to\infty}f(b_i)\geqslant 0$, то есть $ f(x_0)\leqslant 0$ и $ f(x_0)\geqslant 0$. Значит, $ f(x_0)=0$, и $ x_0$ -- корень уравнения $ f(x)=0$.