[an error occurred while processing this directive]

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 
   Пример 3.14   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$. Поскольку $ f(0)=1$ и $ f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$ -- числа разных знаков, то функция $ f(x)$ обращается в 0 в некоторой точке $ x_0$ интервала $ (0;\frac{\pi}{2})$. Это означает, что уравнение $ \cos x=x$ имеет корень $ x_0\in(0;\frac{\pi}{2})$.     

Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения $ \cos x=x$

Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня $ x_0$, хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это -- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень $ x_0$ -- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка

Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень -- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.

Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня

Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.

        Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и $ f(a)\ne f(b)$ (будем для определённости считать, что $ f(a)<f(b)$). Пусть $ C$ -- некоторое число, лежащее между $ f(a)$ и $ f(b)$. Тогда существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=C$.

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение

        Доказательство.     Рассмотрим вспомогательную функцию $ f_C(x)=f(x)-C$, где $ C\in(f(a);f(b))$. Тогда $ f_C(a)=f(a)-C<0$ и $ f_C(b)=f(b)-C>0$. Функция $ f_C$, очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f_C(x_0)=0$. Но это равенство означает, что $ f(x_0)=C$.     

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда $ H(x)$ (см.  пример 3.13) принимает значения $ f(-1)=-1$, $ f(1)=1$, но нигде, в том числе и на интервале $ (-1;1)$, не принимает, скажем, промежуточного значения $ \frac{1}{2}$. Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке $ x=0$, лежащей как раз в интервале $ (-1;1)$.

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества $ M\sbs\mathbb{R}$ (то есть такого, что $ x\geqslant K$ при всех $ x\in M$ и некотором $ K$; число $ K$ называется нижней гранью множества $ M$) имеется точная нижняя грань $ \inf M$, то есть наибольшее из чисел $ K$, таких что $ x\leqslant K$ при всех $ x\in M$. Аналогично, если множество $ M$ ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань $ \sup M$: это наименьшая из верхних граней $ K$ (для которых $ x\leqslant K$ при всех $ x\in M$).

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества

Если $ x_0=\inf M$, то существует невозрастающая последовательность точек $ {x_1\geqslant x_2\geqslant \dots\geqslant x_i\geqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$. Точно так же если $ x_0=\sup M$, то существует неубывающая последовательность точек $ {x_1\leqslant x_2\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$.

Если точка $ x_0=\inf M$ принадлежит множеству $ M$, то $ x_0$ является наименьшим элементом этого множества: $ x_0=\min M$; аналогично, если $ x_0=\sup M\in M$, то $ x_0=\max M$.

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

        Лемма 3.1   Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция на отрезке $ [a;b]$, и множество $ M$ тех точек $ x\in[a;b]$, в которых $ f(x)=K$ (или $ f(x)\leqslant K$, или $ f(x)\geqslant K$) не пусто. Тогда в множестве $ M$ имеется наименьшее значение $ x_{\min}\in M$, такое что $ x\geqslant x_{\min}$ при всех $ x\in M$.

Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение

        Доказательство.     Поскольку $ M$ -- ограниченное множество (это часть отрезка $ [a;b]$), то оно имеет точную нижнюю грань $ x_0=\inf M$. Тогда существует невозрастающая последовательность $ \{x_i\}\sbs M$, $ i=1,2,\dots$, такая что $ x_i\to x_0$ при $ i\to\infty$. При этом $ f(x_i)=K$, по определению множества $ M$. Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=\lim_{i\to\infty}K=K,$

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции $ f(x)$,

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_0).$

Значит, $ f(x_0)=K$, так что точка $ x_0$ принадлежит множеству $ M$ и $ x_0=\min M$.

В случае, когда множество $ M$ задано неравенством $ f(x)\leqslant K$, мы имеем $ f(x_i)\leqslant K$ при всех $ i=1,2,\dots$ и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\leqslant K,$

откуда $ f(x_0)\leqslant K$, что означает, что $ x_0\in M$ и $ x_0=\min M$. Точно так же в случае неравенства $ f(x)\geqslant K$ переход к пределу в неравенстве даёт

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\geqslant K,$

откуда $ f(x_0)\geqslant K$, $ x_0\in M$ и $ x_0=\min M$.