[an error occurred while processing this directive]

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 
        Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда $ f$ ограничена на $ [a;b]$, то есть существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $ x\in[a;b]$.

Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена

        Доказательство.     Предположим обратное: пусть $ f(x)$ не ограничена, например, сверху. Тогда все множества $ {M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+1\}}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+2\},\dots}$, $ {M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+i\},\dots}$, не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств $ M_i$ имеется наименьшее значение $ x_i$, $ i=1,2,\dots$. Покажем, что

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\dots<x_i<\dots.$

Действительно, $ f(x_1)=f(a)+1>f(a)$. Если какая-либо точка из $ x_2,x_3,\dots$, например $ x_i$, лежит между $ x_0$ и $ x_1$, то

$\displaystyle f(x_0)=f(a)<f(x_1)=f(a)+1<f(x_i)=f(a)+i,$

то есть $ f(a)+1$ -- промежуточное значение между $ f(x_0$ и $ f(x_i)$. Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка $ x_*\in(x_0;x_i)$, такая что $ f(x_*)=f(a)+1$, и $ x_*\in M_1$. Но $ x_*<x_i<x_1$, вопреки предположению о том, что $ x_1$ -- наименьшее значение из множества $ M_1$. Отсюда следует, что $ x_i>x_1$ при всех $ i\geqslant 2$.

Точно так же далее доказывается, что $ x_i>x_2$ при всех $ i\geqslant 3$, $ x_i>x_3$ при всех $ i\geqslant 4$, и т. д. Итак, $ \{x_i\}$ -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом $ b$. Поэтому существует $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x'$. Из непрерывности функции $ f(x)$ следует, что существует $ \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x')$, но $ f(x_i)=f(a)+i\to+\infty$ при $ i\to\infty$, так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция $ f(x)$ ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что $ f(x)$ ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.     

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0,
\end{array}\right.
$

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция не ограничена на отрезке, так как при $ x=0$ имеет точку разрыва второго рода, такую что $ \vert f(x)\vert\to+\infty$ при $ x\to0$. Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию $ f(x)$ на полуинтервале $ (0;1]$. Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$.

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.