дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 
      Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует точка $ x_*\in[a;b]$, такая что $ f(x_*)\leqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_*$ -- точка минимума: $ f(x_*)=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$), и существует точка $ x_{**}\in[a;b]$, такая что $ f(x_{**})\geqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_{**}$ -- точка максимума: $ f(x_{**})=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$). Иными словами, минимальное и максимальное значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках $ x_*$ и $ x_{**}$ этого отрезка.

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума

        Доказательство.     Так как по предыдущей теореме функция $ f(x)$ ограничена на $ [a;b]$ сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на $ [a;b]$ -- число $ K=\sup\limits_{x\in[a;b]}\{f(x)\}$. Тем самым, множества $ M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-1\}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{2}\}}$,..., $ M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{i}\}$,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения $ x_i$: $ f(x_i\geqslant K-\frac{1}{i}$, $ i=1,2,\dots$. Эти $ x_i$ не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

$\displaystyle x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots,$

и ограничены сверху числом $ b$. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x_{**}.$ Так как $ f(x_i)\geqslant K-\frac{1}{i}$, то и

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_{**})\geqslant \lim\limits_{i\to\infty}(K-\frac{1}{i})=K,$

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть $ f(x_{**})\geqslant K$. Но при всех $ x\in[a;b]$ $ f(x)\leqslant K$, и в том числе $ f(x_{**})\leqslant K$. Отсюда получается, что $ f(x_{**})=K$, то есть максимум функции достигается в точке $ x_{**}$.

Аналогично доказывается существование точки минимума.     

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\ 0,&\mbox{ при }x\in[0;1], \end{array}\right. $

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что $ \vert f(x)\vert\leqslant 1$) и $ \sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$, однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что $ f(0)=0$, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке $ x=0$, так что при $ x\to0-$ предел $ f(x)$ не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию $ f(x)=x$ на интервале $ (0;1)$. Очевидно, что функция непрерывна и что $ \inf\limits_{x\in(0;1)}=0$ и $ \sup\limits_{x\in(0;1)}=1$, однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала $ (0;1)$. Рассмотрим также функцию $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ на полуоси $ [0;+\infty)$. Эта функция непрерывна на $ [0;+\infty)$, возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке $ x=0$, но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом  $ \dfrac{\pi}{2}$ и $ \sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$

Заметим, что доказанная теорема не даёт практического способа находить точки минимума и максимума функции на заданном отрезке. Такой способ мы обсудим позднее, когда изучим понятие производной. Однако теорема важна тем, что даёт нам уверенность в том, что искомый экстремум существует и мы сможем его отыскать.

 

Кривые второго порядка.   Гипербола Производная и дифференциал Математика Примеры решения задач
 Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами
Парабола
Системы координат   Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.
Полярная система координат
 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;