дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Непрерывность функций Равномерная непрерывност

 

Напомним, что непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ означает, что $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то есть
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
Тем самым непрерывность функции $ f$ на интервале или отрезке $ I\sbs\mathcal{D}(f)$ означает, что
$ \forall x_0\in I\ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
При этом мы имеем право выбирать число $ {\delta}>0$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ и, главное, от точки $ x_0\in I$.

Предположим теперь, что число $ {\delta}>0$ можно выбрать общим для всех $ x_0\in I$ (но, конечно, зависящим от $ {\varepsilon}$). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке $ x_0$ выполнено равномерно по $ x_0\in I$.

Дадим теперь такое

Кулинарная книга Жарим-Парим OnLine

        Определение 3.5   Пусть $ f$ -- некоторая функция и $ I\sbs\mathcal{D}(f)$. Функция $ f$ равномерно непрерывна на $ I$, если
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x_0,x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$     

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

        Пример 3.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $ \mathbb{R}$. Фиксируем число $ {\varepsilon}>0$ и положим $ {\delta}={\varepsilon}$. Выберем теперь любые две точки $ x$ и $ x_0$, такие что $ \vert x-x_0\vert<{\varepsilon}$, и покажем, что тогда $ {\vert\sin x-\sin x_0\vert<{\varepsilon}}$. Действительно,
$\displaystyle \vert\sin x-\sin x_0\vert=\left\vert 2\cos\dfrac{x+x_0}{2}\sin\df... ...left\vert\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert= \vert x-x_0\vert\leqslant {\varepsilon},$   
 

так как, во-первых, $ \left\vert\cos\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert\leqslant 1$ при всех $ x$ и $ x_0$ и, во-вторых, $ \vert\sin{\alpha}\vert\leqslant \vert{\alpha}\vert$ при всех $ {\alpha}\in\mathbb{R}$ (у нас $ {\alpha}=x-x_0$). Таким образом. равномерная непрерывность функции $ \sin$ доказана.     

Лучше изучить условие равномерности по $ x_0$ мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

Кривые второго порядка.   Гипербола Производная и дифференциал Математика Примеры решения задач
 Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами
Парабола
Системы координат   Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.
Полярная система координат
 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;