дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Непрерывность функций Непрерывность обратной функции

 

Пусть $ f(x)$ -- функция, непрерывная на отрезке $ [a;b]$. Предположим, что $ f(x)$ монотонна на $ [a;b]$; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$. Тогда образом отрезка $ [a;b]$ будет отрезок $ [c;d]$, где $ c=f(a)$ и $ d=f(b)$ (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между $ f(a)$ и $ f(b)$ значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к $ y=f(x)$ функция $ {x={\varphi}(y)}$ функция, действующая из $ [c;d]$ в $ [a;b]$. Очевидно, что $ {\varphi}$ монотонно возрастает. (Если бы функция $ f$ была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция $ {\varphi}$ тоже была бы монотонно убывающей.)

        Теорема 3.11   Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.
Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если $ x_1\ne x_2$, $ x_1,x_2\in[a;b]$, то $ {\vert f(x_2)-f(x_1)\vert=\vert y_2-y_1\vert>0}$.

Во-вторых, пусть $ 0<h<b-a$; рассмотрим функцию $ g_h(x)=f(x+h)-f(x)$, которая определена при $ x\in[a;b-h]$. Очевидно, что $ g_h$ -- непрерывная на $ [a;b-h]$ функция, поэтому она принимает наименьшее значение $ {\alpha}_h$ в некоторой точке $ \xi\in[a;b-h]$:

$\displaystyle \min\limits_{[a;b-h]}g_h(x)=g_h(\xi)=f(\xi+h)-f(\xi)={\alpha}_h>0.$
Таким образом, если $ \vert x_2-x_1\vert\geqslant h$, то $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert\geqslant {\alpha}_h$, то есть если $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert<{\alpha}_h$, то $ \vert x_2-x_1\vert<h$. Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа $ {\varepsilon}(=h)>0$ найдётся число $ {\delta}(={\alpha}_h)>0$, такое что при $ \vert y_2-y_1\vert<{\delta}$ выполняется неравенство $ \vert{\varphi}(y_2)-{\varphi}(y_1)\vert<{\varepsilon}$. (При этом $ y_1=f(x_1)$, $ y_2=f(x_2)$, $ x_1={\varphi}(y_1)$, $ x_2={\varphi}(y_2)$.) Получили, что функция $ {\varphi}$ удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке $ [c;d]$; тем самым доказано утверждение теоремы.     

Кривые второго порядка.   Гипербола Производная и дифференциал Математика Примеры решения задач
 Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами
Парабола
Системы координат   Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.
Полярная система координат
 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях скачать фильм самогонщики бесплатно;