дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Эллипсоид Кривые и поверхности второго порядка


Рис.13.4.Сечения эллипсоида координатными плоскостями


Нарисованный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью $ {z=h}$ . Эта плоскость параллельна плоскости $ xOy$ и пересекает ось $ Oz$ в точке $ h$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1-\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=h. \end{array}\right.$

Очевидно, что если $ \vert h\vert>c$ , то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой-- отрицательное.

Если $ \vert h\vert=c$ , то сечении получим лишь одну точку $ (0;0;c)$ или $ (0;0;-c)$ в зависимости от знака $ h$ .

Пусть $ \vert h\vert<c$ . Тогда первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.5)


где $ a_1=a\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение(13.5) является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением(13.4), с коэффициентом подобия $ \sqrt{1-\frac {h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Ясно, что сечение плоскостью $ {z=-h}$ является таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости $ xOy$ . Нарисуем эти сечения (рис. 13.5).


Рис.13.5.Дополнительные сечения эллипсоида


Таким образом, весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости $ xOy$ и подобных эллипсу в плоскости $ xOy$ . Рисунок 13.6 дает более привычное глазу изображение эллипсоида.




Рис.13.6.Эллипсоид


Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии-- центром эллипсоида. Числа $ a$ , $ b$ , $ c$ называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если $ {a=b}$ , то все сечения эллипсоида плоскостями $ {z=h}$ , $ \vert h\vert<c$ , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса

$\displaystyle \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\quad (b=a),$

лежащего в плоскости $ yOz$ , при вращении его вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.7).



Рис.13.7.Эллипсоид вращения

 

Уравнение кривой в полярной системе координат Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач
Цилиндрическая и сферическая системы координат
Аналитическая геометрия в пространстве  Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
   Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Угол между плоскостями.
  Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Линейное (векторное) пространство  Свойства линейных пространств

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях То что нас окружает устройства в нашей жизни;