дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Касательная к кривой на плоскости


Пусть на координатной плоскости $ xOy$ построен график функции $ f(x)$, и $ x_0$ -- некоторая внутренняя точка области определения $ \mathcal{D}(f)$. Прямая, проходящая через точки $ M_0(x_0;y_0)$ и $ M_1(x_1;y_1)$, где $ y_0=f(x_0)$ и $ y_1=f(x_1)$ ( $ x_1\ne x_0$), -- это секущая по отношению к графику $ y=f(x)$.

Касательной к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0$ называется прямая $ M_0N$, служащая предельным положением секущих (прямых $ M_0M_1$), при условии, что точка $ M_1$ приближается, следуя по линии $ y=f(x)$, к точке касания $ M_0$.

Рис.4.1.Касательная -- это предельное положение секущих
Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Этому не вполне строгому определению можно придать точный смысл, если задавать положения всех прямых, проходящих через точку $ M_0$, то есть секущих и касательной, их углом наклона по отношению к положительному направлению оси $ Ox$. Обозначим через $ {\beta}$ угол наклона прямой $ M_0M_1$. Очевидно, что, вообще говоря, угол $ {\beta}$ зависит от выбора точки $ M_1$: $ {\beta}={\beta}(x_1)$ (считаем, что точка $ M_0$ фиксирована). Так как секущая проходит через точки с координатами $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$, то

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_1)=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$

Если теперь обозначить через $ h$ приращение абсциссы $ x$ при переходе от точки $ x_0$ к точке $ x_1$, то есть $ h=x_1-x_0$, то получим, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Приближение точки $ M_1$ к точке $ M_0$ вдоль кривой $ y=f(x)$ означает, что $ h\to0$; при этом угол $ {\beta}$ приближается, по определению, к углу $ {\alpha}$ наклона касательной $ M_0N$:

$\displaystyle {\alpha}=\lim_{h\to0}{\beta}(x_0+h).$

Предположим, что этот предел существует (что означает существование касательной) и не равен $ \pm\frac{\pi}{2}$. Тогда, вследствие того, что тангенс непрерывен при $ x\ne\pm\frac{\pi}{2}+2m\pi$ ( $ m\in\mathbb{Z}$), получаем, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Итак, по определению, мы называем прямую $ M_0N$ наклонной касательной (или просто касательной) к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0(x_0;f(x_0))$, если она имеет тангенс угла $ {\alpha}$ наклона к оси $ Ox$, равный

$\displaystyle k_{x_0}=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$(4.3)
 


Число $ k_{x_0}$ называют угловым коэффициентом касательной к графику функции при $ {x=x_0}$.

Если же $ {\alpha}=\lim\limits_{h\to0}{\beta}(x_0+h)=\pm\frac{\pi}{2}$, то прямая $ M_0N$ оказывается вертикальной (перпендикулярной к оси $ Ox$). В этом случае будем говорить, что график $ y=f(x)$ имеет вертикальную касательную в точке $ M_0$. Этот случай соответствует тому, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to+\infty$

или

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to-\infty$

при $ h\to0$.

       

Уравнение кривой в полярной системе координат Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач
Цилиндрическая и сферическая системы координат
Аналитическая геометрия в пространстве  Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
   Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Угол между плоскостями.
  Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Линейное (векторное) пространство  Свойства линейных пространств

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;