дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Касательная к кривой на плоскости

 

 Определение 4.2   Число $ k_{x_0}$, в случае если задающий его предел существует, называют производной функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначают $ f'(x_0)$. Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной $ x$.     

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку $ (x_0;y_0)$ с угловым коэффициентом $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, -- это $ Y=y_0+k(x-x_0)$ (где $ (x;Y)$ -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписать уравнение касательной к графику $ y=f(x)$ при $ {x=x_0}$, то есть касательной, проходящей через точку $ (x_0;f(x_0))$ с угловым коэффициентом, равным производной $ k_{x_0}=f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$:

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

Пусть дана некоторая кривая $ y=f(x)$, и в точке $ (x_0;y_0)$ к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии $ y=f(x)$.

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии $ y=f(x)$

Если касательная имеет угловой коэффициент $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, то нормаль имеет угловой коэффициент $ k_1=-\dfrac{1}{k}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}$, поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен $ {\beta}={\alpha}+\frac{\pi}{2}$, а $ k_1=\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\alpha}+\frac{\pi}{2})=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}.$ Поэтому уравнение нормали к линии $ y=f(x)$, проведённой через точку $ (x_0;y_0)$, имеет вид:

$\displaystyle Y=y_0-\dfrac{1}{k}(x-x_0),$

или

$\displaystyle Y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).$

 

 

Уравнение кривой в полярной системе координат Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач
Цилиндрическая и сферическая системы координат
Аналитическая геометрия в пространстве  Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
   Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Угол между плоскостями.
  Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Линейное (векторное) пространство  Свойства линейных пространств

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях аутстаффинг персонала преимущества аутстаффинга договор лизинга персонала;