дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Производная Примеры решения задач

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами

\begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}
 


при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, в формуле (4.3b) -- на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$, а в формуле (4.3c) -- на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$.

Функция, имеющая в точке $ x_0$ производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке $ x_0$. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала $ (a;b)$, называется дифференцируемой на интервале $ (a;b)$. Пусть теперь $ [a;b]$ -- замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала $ (a;b)$, дифференцируемая справа в точке $ a$ и дифференцируемая слева в точке $ b$, называется дифференцируемой на отрезке $ [a;b]$. Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Вычислим производную данной функции $ f(x)$ в различных точках $ x$ некоторого интервала $ (a;b)$ и предположим, что производная $ f'(x)$ существует при всех $ x\in(a;b)$. Тогда мы можем задать соответствие между точками $ x$ интервала и числами $ f'(x)$ и получаем функцию $ f': (a;b)\to\mathbb{R}; f':x\mapsto f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной от функции $ f$ (или первой производной от $ f$).

С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная $ f'(x_0)$, то существуют обе односторонние производные (правая $ f'_+(x_0)$ и левая $ f'_-(x_0)$), и $ f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$. Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, $ f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$, то существует и производная $ f'(x_0)$, совпадающая с их общим значением.

В предположении, что производная $ f'(x_0)$ существует, мы можем теперь сказать, что число $ f'(x_0)$ задаёт мгновенную скорость изменения координаты $ y=f(x)$ при $ x=x_0$; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$: чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси $ Ox$ (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью $ Ox$).

Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной

Уравнение кривой в полярной системе координат Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач
Цилиндрическая и сферическая системы координат
Аналитическая геометрия в пространстве  Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
   Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Угол между плоскостями.
  Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Линейное (векторное) пространство  Свойства линейных пространств

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;