Пример 4.3
Найдём производную функции
При
вычислим производную как производную произведения:
При
производную вычислим по формуле, служащей определением производной:
поскольку получили предел
произведения бесконечно малой величины
и ограниченной величины
.
Итак,
,
однако это значение не является пределом
при
,
то есть производная
имеет при
разрыв второго рода. Действительно, в выражении для
при
первое слагаемое
стремится к 0 при
,
однако второе слагаемое
не стремится ни к какому пределу при
,
совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.
Рис.4.5.Графики
функции 
и её производной
Этот пример показывает, что производная, даже
если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.
